有向图的覆盖时间

给定图形上的随机游走，则覆盖时间是该游动击中（覆盖）每个顶点的第一时间（预期步数）。对于连接的无向图，覆盖时间已知为上限 $O(n^3)$ 。有覆盖时间指数呈强连通的有向图 $n$ 。这样的一个例子，是由一个有向循环的有向图 $(1, 2, ..., n, 1)$ ，和边缘 $(j, 1)$ ，从顶点 $j = 2, ..., n − 1$ 。从顶点开始，对于随机游走预期的时间内达到顶点是。我有两个问题： $1$ $n$ $\Omega(2^n)$

1）有多项式覆盖时间的有向图的已知类别是什么？这些类别的特征可能是图形理论性质（或）或相应的邻接矩阵性质（例如）。例如，如果是对称的，则图的覆盖时间为多项式。 $A$ $A$

2）是否有更简单的示例（例如上述循环示例），其中覆盖时间是指数的？

3）是否存在具有准多项式覆盖时间的示例？

我希望您能找到与此主题相关的好的调查报告/书籍的指针。

— 湿婆金塔利
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你的周期例如也许可以略微推广到用针对肚带图

具有指数罩时间

。

g

$g$

2^{Ω (n / g)}

$2^{\Omega(n/g)}$

— 德里克·斯托利

同样，扩展器图很可能具有较快的覆盖时间。

— 德里克·斯托利

Mihail的论文描述了如何用电导率来限制正则图甚至一般马尔可夫链的收敛速度。它也可以用来限制覆盖时间（我想）。请参阅：ieeexplore.ieee.org/iel2/260/2317/00063529.pdf

— 泽宇

@Zeyu，应该是一个答案！

— Suresh Venkat 2010年

范忠的论文“有向图的Laplacians和Cheeger不等式”可能是有意义的。它还有一些关于Fill先前工作的指针。springerlink.com/content/pn149711511373w9

— Chandra Chekuri 2012年

Answers:

~~显然，多项式混合时间意味着多项式覆盖时间。~~（当然，不是一般的。我们需要固定的概率至少是在每个顶点。）因此，检查米哈伊尔的纸电导和马尔可夫收敛链，一个扩展的联合治疗这证明经常快速混合有向图和基于电导的一般马尔可夫链。 $1/poly(n)$

另请参阅伪伪随机正则图和 Reingold，Trevisan和Vadhan 的RL vs.L问题。跟随Mihail的工作。他们定义的参数其等同于，在绝对值的第二大特征值，当图是时间可逆的，而对于一般的马尔可夫链遗体明确定义。然后，此参数用于限制的混合时间。 $\lambda_\pi(G)$ $\lambda_2(G)$ $G$ $G$

— 泽宇
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对于混合时间，还使用所谓的Poinare常数（这是将光谱间隙推广到不可逆设置的相关信息）进行相关的框架工作。洛朗·萨洛夫·科斯特（Laurent Saloff Coste ）在此框架中有一些注释（springerlink.com/content/27114435w5149665）处理马尔可夫链。还有一本专着（faculty.uml.edu/rmontenegro/research/TCS008-journal.pdf）由Tetali和黑山。当然，这是关于混合时间的，但是如Zeyu所指出的那样，对于限制覆盖时间可能很有用。

— Piyush

Colin Cooper和Alan Frieze在可能有兴趣的随机有向图的背景下得出了一组结果。他们在时研究随机有向图上的简单随机游动的性质。他们证明： $D_{n,p}$ $np=d \log n, d>1$

对于，WHP的盖时间是渐近于。如果带，则覆盖时间渐近于。 $d > 1$ $D_{n,p}$ $d \log (d/(d-1)) n \log n$ $d=d(n) \rightarrow \infty$ $n$ $n \log n$
如果和则WHP 。 $p = d \log n/n$ $d>1$ $C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$
让，并让表示在溶液的。令为的巨分量。然后WHP $d>1$ $x$ $(0,1)$ $x = 1-e^{-dx}$ $X_g$ $G_{n,p},p=d/n$ $C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$
$r \geq 3$ $G_{n,r}$ $r$ $[n]$ $r \geq 3$ $C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$ .
If $m \geq 2$ is a constant and $G_m$ denotes a preferential attachment graph on average degree $2m$ then whp $C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$ .
If $k \geq 3$ and $G_{r,k}$ is a random geometric graph in $\mathcal{R}^k$ of ball size $r$ such that the expected degree of a vertex is asymptotic to $d \log n$ , then whp $C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$ .

See Cooper, C., & Frieze, A. Stationary distribution and cover time of random walks on random digraphs. Journal of Combinatorial Theory, Series B. (2011).

— Juho
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