醉鸟vs醉酒的蚂蚁：二维和三维之间的随机游动

众所周知，二维网格中的随机游走会以1的概率返回原点。众所周知，同一三维空间的随机游走返回原点的概率严格小于1。

我的问题是：

两者之间有东西吗？例如，假设我的空间实际上是平面的边界区域，该区域在z方向上被拉伸到无穷大。（通常称为2.5维）。二维结果是适用的还是三维结果？

这是在讨论中提出的，一个启发式论据说它在二维上起作用是因为平面的有限区域最终将被覆盖，所以行走的唯一非平凡部分是沿z方向的一维射线，因此返回到起源会发生。

在二维维和三维维之间还可以插入其他形状吗？

更新（从评论中拉出）：在MO上提出了一个相关问题 -简短的总结是，如果步行的尺寸为（2 + ϵ）偶数，则不确定的收益会从分散的序列中轻松得出。但是，上述问题与IMO略有不同，因为我要问的是其他可能允许一定收益的形状。

Peres and Lyons的“ 树和网络的概率”在第2章（第50页）中提到：

理解这一点的一种方法是询问和之间的中间空间类型。例如，考虑楔形$\mathbb{Z}^2$$\mathbb{Z}^3$

$$W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$$

其中是一个递增函数。离开的阶为，因此根据Nash-Williams标准，$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$$n(f(n)+1)$

$$\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$$

足以复发。

如果从外部开始，则在3x3x3空间（如魔方）中进行3D随机行走的可能性小于返回原点的概率。但2x2x2空间的空间为1，原点为中心的3x3x3空间的空间为1。因此，似乎有一些中间形状，但可能不是很多。