随机游走中不同节点的数量

连接图中的通勤时间$G=(V,E)$定义为在访问节点之前再次到达节点之前，从开始的随机游走中的预期步数。它基本上是两个命中时间和的总和。$i$$j$$i$$H(i,j)$$H(j,i)$

是否有与通勤时间类似（不完全相同）但根据节点定义的内容？换句话说，什么是预期数量的不同节点随机游走开始并返回在将访问？$i$$i$

更新（2012年9月30日）：关于随机步行者在格子上（即）访问的不同站点的数量，有许多相关工作。例如，请参阅：http : //jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1?isAuthorized=no$\mathbb{Z}^n$

有人读过一些东西吗？

来自Q＆A的评论中，您似乎有兴趣研究定义在这组幻灯片中的堆栈距离的内容，关于缓存的数学建模

将引用的堆栈距离定义为当前引用和先前引用同一块编号之间的唯一块地址的数量。

它通过基准进行了一些实证分析。它说，一般来说，缓存请求没有“位置的已知度量”，然后提出堆栈距离作为度量。尽管您在注释中画出了这样的联系，但它与随机图论无关。（似乎有堆栈距离可能与马尔可夫链混合有关？）

您似乎对建模缓存性能或优化算法很感兴趣，方法是将缓存请求视为图形的节点，将边缘视为相邻请求之间的过渡。尚未见过研究此图结构的论文。由于在实践中缓存的成功以及在上面的幻灯片中所谓的空间和时间局部性，在实际应用中它似乎确实不是纯粹的随机图。即，乔在回答中勾勒出某种“聚类”。

（也许它有一个小的世界结构？这在现实世界的数据中很普遍）

评论：我最近参加了布鲁斯·里德（Bruce Reed）的演讲，题目是“ 捉住醉酒的恶人”，这是与娜塔莎· 科莫罗夫（Natasha Komorov）和彼得·温克勒（Peter Winkler）共同合作的。如果您可以掌握这项工作的结果，也许可以在某些方面帮助您。

通常，当我们知道强盗沿着边缘随机移动时，它们证明了警察在一般图中能够捕获强盗所需的步数上限。

这实际上不是您问题的正确答案，但评论太长。

您所追求的数量将因图表而异，并且将取决于助行器的初始位置。不同中间节点的预期数量将在很大程度上取决于图中的聚类，而我希望不同中间节点的预期数量将与聚类系数相关。

簇基本上是共享大量边的顶点的子集，因此每个顶点都连接到簇中其他大部分顶点。当步行者进入集群时，很可能会在该区域停留大量的跃点，从而可能会多次访问每个节点。的确，以这种方式使用随机游走是用于识别大型图中聚类的计算技术之一。因此，对于从簇开始的步行者而言，不同中间顶点的预期数量可能会随簇的大小和离开簇的平均概率而缩放。

$N$$\frac{1}{N}$$N+1$

图中的平均顶点度也将起重要作用，尽管这与聚类有关。其原因是，当步行者跳到度数为1的顶点时，必须在下一跳上跳回到上一个顶点。即使在度数为2的情况下，尽管在每个跃点上都可以沿任一方向遍历，但只有一条路径可以通过该图。另一方面，对于度数大于2的图，路径数量会爆炸，即使返回之间的最短路径很小，也极不可能返回到初始位置。

因此，对于平均度数大大高于2且也没有明显聚类的树（例如树）的图形，您可能希望其中间顶点的数量很高。

当然，这些评论在量子随机游动的情况下不再成立，但我想您只在乎经典情况。