联合树问题的随机查询复杂度

Childs等人在2003年发表的重要论文。引入了“联合树问题”：一个承认指数量子加速的问题，这与我们所知道的任何其他此类问题都不一样。在这个问题中，我们得到了一个指数级的图形，如下图所示，它由两个深度为n的完整二叉树组成，它们的叶子通过一个随机周期相互连接。我们提供了ENTRANCE顶点的标签。我们还提供了一个预言机，该预言机给定任何顶点的标签，告诉我们其相邻节点的标签。我们的目标是找到EXIT顶点（可以轻松识别，它是图形中除ENTRANCE顶点之外唯一的2度顶点）。我们可以假设标签是随机的长字符串，因此，以极大的概率，除ENTRANCE顶点以外的其他顶点由oracle赋予。

查尔兹等。表明量子游走算法能够简单地遍历该图，并在poly（n）步骤之后找到EXIT顶点。相比之下，他们还表明，任何经典的随机算法都需要exp（n）步骤才能高概率地找到EXIT顶点。他们将其下界表示为Ω（2 ^{n / 6}），但我认为仔细检查其证明会得出Ω（2 ^{n / 2}）。直观地讲，这是因为以极大的概率，图上的随机游走（甚至是自我规避的游走等）将在广阔的中间区域停留一段指数时间：任何时候，步行者开始向出口走去，远离EXIT的大量边缘将作为“排斥力”，将其推向中间。

他们对参数进行形式化的方式是表明，直到访问〜2 ^{n / 2}个顶点之前，随机算法甚至都没有在图中找到任何循环：到目前为止，所看到的诱导子图只是一棵树，没有提供有关退出顶点可能在哪里的任何信息。

我有兴趣更精确地确定此问题的随机查询复杂度。我的问题是这样的：

谁能提出一种经典算法，以不到2 ^n的步长找到EXIT顶点，比如O（2 ^{n / 2}）或O（2 ^{2n / 3}）？或者，有人能给出比Ω（2 ^{n / 2}）更好的下界吗？

（请注意，根据生日悖论，在O（2 ^{n / 2}）个步骤之后在图形中查找循环并不难。问题是，是否可以使用循环来获取有关EXIT顶点在哪里的任何线索。）

如果有人可以改善超过Ω（2 ^{n / 2}）的下界，那么据我所知，这将提供具有指数量子加速比的黑盒问题的第一个可证明示例，其随机查询复杂度大于√N 。（其中N〜2 ⁿ是问题大小。）

更新：我从安德鲁·柴尔兹（Andrew Childs）那里了解到，在本笔记中，芬纳（Fenner）和张（Zhang）明确将联合树的随机下界提高到Ω（2 ^{n / 3}）。如果他们愿意接受恒定的（​​而不是指数上较小的）成功概率，我相信他们可以将界限进一步提高到Ω（2 ^{n / 2}）。

我想我有一个确定性算法，可以在 oracle调用中找到出口。$O(n2^{n/2})$

首先，找到距离入口所有顶点的标签。这需要O （2 n / 2）个查询。然后，从入口开始，步行n + 1步，到达距入口n + 1距离的节点X。我们将尝试到达此节点的出口。$n/2$$O(2^{n/2})$$n+1$$X$$n+1$

从出发，我们有两个选择，我们希望选择一个更靠近出口的地方。要做到这一点，挑的任意一个选项，到达一个节点ÿ。然后探索从Y步行n / 2步的所有O （2 n / 2）方法。如果其中一个给与入口的距离标记为n / 2，则我们知道从X到Y的选择是错误的选择。否则，Y是正确的选择。因此在O （2 n /$X$$Y$$O(2^{n/2})$$n/2$$Y$$n/2$$X$$Y$$Y$我们发现到入口处的节点 X 2的距离为 n + 2。$O(2^{n/2})$$X_2$$n+2$

我们可以继续这种方式。为了找到距入口的距离的节点，我们从X 2开始并走了两个任意步骤。然后，我们探索步行n / 2个附加步骤的所有选项（同时不要向后走），并检查其中是否有距入口n / 2的距离。当且仅当我们从X 2走出的第一步错误时，才会发生这种情况。$n+3$$X_2$$n/2$$n/2$$X_2$

到达出口需要这样做次，总共执行O （n 2 n / 2）个 oracle调用。另外，也许令人惊讶的是，该算法是确定性的。$n$$O(n2^{n/2})$

编辑：为了明确起见，要从到X t + 1，我们走t任意步，然后进行深度n / 2的搜索，总共需要t + 2 n / 2步。如果第一步离开出口，那么所有前t步都完成了，因此我们找到了距入口n / 2的标签。这意味着t + 2 n / 2步就足以确定从X t采取的下一步骤$X_t$$X_{t+1}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$X_t$。