有关随机游走的技术问题

（我的原始问题仍未得到解答。我添加了进一步的说明。）

通过将随机游走视为马尔可夫链来分析随机游走（在无向图上）时，我们要求图是非二分图的，以便应用马尔可夫链的基本定理。

如果该图会发生什么 $G$而是二分的？我对打发时间特别感兴趣$h_{i,j}$，之间有一条边 $i$ 和 $j$ 在 $G$。说二部图$G$ 已 $m$边缘。我们可以向图中的任意顶点添加自环，以生成结果图$G'$非二分 将马尔可夫链的基本定理应用于$G'$ 然后我们得到 $h_{i,j} < 2m+1$ 在 $G'$，这显然也是 $h_{i,j}$ 在 $G$。

问题：更强的主张是真的吗 $h_{i,j} < 2m$ 持有 $G$？（在2SAT的随机游走算法分析中已经看到了这一点。）还是我们真的必须经历添加自环的额外步骤？

这个答案证明了与提问者真正感兴趣的东西有所不同。把它留在这里，这样其他人就不会重复同样的错误。

在大多数情况下，可以通过一种耦合论证来正式证明“自我循环只会减慢步行速度”这一直观观念。例如，在这种情况下，您可以将步行与自循环耦合（我们称其为$A$）和没有自我循环的那个（让我们称之为 $B$） 以便 $A$取相同的步骤$B$，但时间延迟。例如，可以按照以下步骤进行操作：假设$B$ 开始于 $u = x_0$ 并经历 $x_i: i =1,2,\ldots,k$。现在，我们实施$A$ 如下： $A$ 也经历了与 $B$，除了那个顶点 $x_i$，它会等待Geometric（$p_i$）时间 $p_i$ 是在的自环概率 $x_i$。请注意，这是正确的实现$A$ （所有转移概率都是正确的），并且耦合的形式可确保 $A$ 永远不会到达任何顶点 $B$，也就是说，我们已经耦合 $H_t^A$ 和 $H_t^B$ （两次步行中的随机击球时间），以便 $H_t^A \geq H_t^B$ 很有可能 $1$。因此，随之而来的是预期击球时间的不平等。

我之前已将此内容发布为评论，并且我相信它肯定回答了user686的修改问题（当 $i$ 和 $j$ 通过图中的边连接 $G$ （无论是否是二方的）， $h(i,j)$，预计到达时间 $i$ 至 $j$ 满足 $h(i,j) < 2m$）

我还应该指出，在其原始未经编辑的版本中，问题并未指出 $i$ 和 $j$ 相邻，因此，尽管较早的答案与原始问题有关，但与新编辑的版本无关。

如果 $i$ 和 $j$ 相邻，上下班时间 $C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$，在哪里 $R(i,j)$ 是介于 $i$ 和 $j$ 在G中，最多 $1$ （以来 $i$ 和 $j$通过边缘连接）。这表明$h(i,j)<2m$ 什么时候 $i$ 和 $j$ 在附近 $G$，因为两者 $h(i,j)$ 和 $h(j,i)$ 是严格肯定的。

身份 $C(i,j) = 2mR(i,j)$ 持有任意顶点 $i$ 和 $j$。例如，在Lyons和Peres 的书中出现了一个证明。

@ user686对不起，对于我之前的回答：我没有意识到您担心的是 $2m+1$ 与 $2m$。但是，在那种情况下，如果您仅在$j$。随机游走始于$i$ 在两种情况下 $G'$ 和 $G$ 可以耦合，以便他们采取 $same$ 同时步，直到达到 $j$。这意味着$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$，因此预期的击球时间必须相等。

另外，由于 $h_{i,j} < 2m+1$ 通常是不正确的（在 $m$ 节点 $h_{i,j}$ 可以大到 $\Theta(m^2)$），您的图表是否特别？

PS：我更新了我先前的答案，因为看来这并没有解决您的主要问题。