使用局部交换对图形上的令牌进行改组

令是度为有界的不规则连通图。假设每个节点都包含一个唯一的令牌。 $G= (V, E)$

我想只使用局部交换（即在两个相邻节点之间交换令牌）在图之间均匀地拖曳令牌吗？是否存在针对此问题的下限？

我唯一的想法是使用随机游走结果，然后查看需要多少交换来“模拟”图形上代币的随机游走效果。

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— 西尔万·佩龙网
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您正在寻找哪种下限？掉期总数？平行回合的数量（即，您可以在第一步中沿着

匹配的所有边交换）？下限是

的函数

，

？是否所有节点都知道

的拓扑（并且可以相应地调整其行为），或者您正在寻找可应用于任何图中的固定策略？

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela

我应该更具体一些，对不起。目标是设计一种用于传感器网络的数据分发方法，该方法可避免基于随机游走的方法（基本上是由于多个令牌在同一节点上碰撞而导致的信息丢失）的问题。因此，我对交换的总数（这将给出网络中循环的消息数）和轮数（对收敛时间进行粗略估算）感兴趣。作为

的函数的LB 很好，并且节点不了解拓扑（不幸的是）。

V

$V$

— Sylvain Peyronnet，2010年

Answers:

假设您的图形是一条路径。我认为这个问题就等同于通过交换相邻条目对数组中的数字进行随机排序。即使所有节点都了解拓扑，交换数也会有^ 2下限（即使在随机输入上，也无法比n ^ 2的冒泡排序更好）。

— 列夫·雷津
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O (n^{2})

$O(n^2)$

这个LB说即使您选择交换，也无法改善算法....但是，我想随着（平均？）度的升高，问题可能会变得更加容易。

— 列夫·雷津

我将安排一些模拟，以了解度数增加时情况如何。

— Sylvain Peyronnet，2010年

实际上，即使路径的两端具有较大的集团，看起来LB（经过一些修改）也将保持不变-就像在n / 4个节点上由n / 2个节点的路径连接的2个集团一样。现在平均度为O（n），但您仍然无法击败n ^ 2。也许我们需要施加最低学位？

— 列夫·雷津

是的，我们需要最低学位：(

— Sylvain Peyronnet，2010年

我想指出这个问题和排序网络之间的关系。例如，如果您的图是一条路径，那么平凡的线性深度排序网络还显示您可以获取线性轮数的任何排列。此外，这很严格，因为仅在路径端点交换元素需要线性轮数。

AKS分类网络显示，在某些图形中，您可以获取对数轮数的任何排列。对于网格图，请参见这些讲义。

（当然，排序和混排是不同的问题，但是许多上限和下限是相关的。例如，选择随机标签并按标签排序。）

— Jukka Suomela
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感谢您的指导。我将朝这个方向进行挖掘，也许这不是我所需要的（我不确定我是否具有良好的图形类型），但是肯定会早晚使用！

— Sylvain Peyronnet