一次量子命中时间

在论文《量子随机行走以指数方式更快地命中（arXiv：quant-ph / 0205083）》中，肯普给出了量子行走（在超立方体中）的命中时间这一概念，在量子行走文学中并不十分流行。定义如下：

单次量子击中时：离散时间量子游走有 $(T,p)$ 一次性 $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$ -hitting如果时间 $|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ 其中 $|\Psi_0\rangle$ 是初始状态， $|\Psi^f\rangle$ 是目标状态，并且 $p>0$ 是命中率。

通常，您想知道最小 $T$ 使得 $p>0$ 。不可能（如果我错了，请纠正我）定义平均击球时间的概念，因为您将需要在步行过程中进行测量，并将其折叠成经典的步行方式。这就是为什么我们只有一个想法。在同一工作中，有一个应用到量子路由（请参阅第5节）。

为了知道步行到达了目标顶点，您只需要在该节点进行测量。例如，在具有节点的 $n$ 维超立方体中，如果您从node 和有作为目标节点，本文显示，具有有界错误概率，即作为 $2^n$ $|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$ $|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$ $T=O(n)$ $p\to 1$ $n$ 变得非常大。因此为了检测步行到达 $|11\dots11\rangle$ 你做出之后进行测量 $\Omega(n)$ 步骤。这是指数级的加速。

问题：

要使用击中时间这一概念进行搜索，您至少需要知道目标顶点与原点的距离，因为这是您知道何时应用度量的方式。假设您有一个图形，并将其设置为初始顶点并希望达到。还假定和。好吧， $G$ $v_0$ $v^f$ $T=O(dist(v_0,v^f))$ $p\geq 1/2$ $T$ 很明显，因为您至少需要很多步骤才能达到目标。利用这段打发时间进行搜索是否有意义？如果您知道节点在哪里，搜索没有任何意义，但是拥有诸如“距起始顶点的距离”之类的信息，却不知道目标的确切位置，那么击中时间这一概念是否会带来任何有趣的发现（值得研究））搜索算法？
量子路由的应用有意义吗？在论文中说它可以用于路由包，但是在我看来，您只能发送1位，例如，它是否到达目的地？您实际上可以在此框架中发送量子状态吗？本文未解决此问题。
这可能是一个愚蠢的问题，但这是正确的。您是否可以使用“击中时间”这一概念来构建“广义马赫曾德干涉仪”？

我知道其他一些量子行走时间的概念（例如塞格迪（Szegedy）或安拜尼斯（Ambainis）。我对这个特定的击球时间特别感兴趣。

更新（9/24/2010）：感谢Joe Fitzsimons，问题2和3得到了完全解答。尽管问题1仍然存在。首先，既然我已经阅读完Joe推荐给我的论文以及其他几篇论文（例如，参见arXiv：0802.1224），那么我将以更具体的方式重述问题2 ，然后再给出一个具体的例子来说明我的想法对于问题1。

2'。如果您要发送一条具体的消息（如一系列经典位），则可以使用更复杂的unit，它将在步行步骤中复制此信息。要发送量子态，您还需要更多。自旋链通道使用具有固定耦合的量子位线性阵列。您可以将要传输的状态（纯状态，我不知道它是否适用于混合状态）放在一端，然后根据数值结果以高保真度传递到另一端。我仍然需要多加思考，但我有两个想法：i）在图的每个链接上放一个链，或ii）进行遍历，找到目标状态，然后在初始状态和目标之间建立通道，然后发送状态。这些方法是否可行？它适用于混合状态吗？

1'。考虑在以原点为中心的二维网格上行走，每侧长节点 $n$ 。在设定初始状态，并在目标状态 $\sqrt{n}$ $v_0=(0,0)$ 其中 $v^f=(\sqrt{n}-1,a)$ 。因为行走是对称的，所以对于网格边界上某处的任何目标，具有相同的击中时间和击中概率，如下所示。 $a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

替代文字

$dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$ $\Omega(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n\log n})$ $\sqrt{n\log n}$

— 马科斯·维拉格拉
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Answers:

我对本文不太熟悉，但是在粗略浏览一下之后，我将尝试为您的每个问题提供一个粗略的答案。

$O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$ $O(\sqrt{n})$ $T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
我假设作者正在拿一个完整的数据包来做随机游走。显然，这需要更复杂的单一性，但是我真的没有发现问题。另外，Burgarth和Bose有一个非常好的方案，用于跨相同的图形编码信息，如果您简单地将它们的1d链替换为所选的网络（quant-ph / 0406112），该方案也将起作用。
好吧，您并不需要这种打发时间的概念。超立方体具有完美的状态传递（例如，请参见quant-ph / 0309131和quant-ph / 0411020），因此您可以将超立方体上的传输视为干涉仪，并将马赫-曾德干涉仪与2d情况相对应。

更新：（要回答有关在网格或其他网格上随机游动的更新问题）

$v_t$ $v^f$

— 乔·菲茨西蒙斯
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n

$n$

Ω (n^{1 / d})

$\Omega(n^{1/d})$

∣ v_{0} - v^{f} ∣^{- \frac{1}{2}}

$\mid v_0 - v^f \mid^{-\frac{1}{2}}$

O (t^{- 1})

$O(t^{-1})$

对，就是这样。我给出的数字仅用于一种特定的系统。我只是想强调一点，并非总是能够获得与顶点数量无关的恒定的击中概率。

— Joe Fitzsimons 2010年

但是回到搜索问题，我在网格上给出了示例，因为我正在考虑“网格上的空间搜索”（quant-ph / 0303041）。但是，在我看来，为了进行测量以查看是否击中目标，您需要在包含目标的子空间中进行测量。就像我想象的那样，您需要该子空间上的设备不断检查步行是否到达。我的问题是，您似乎总是需要或多或少地了解目标位置。（续）

— Marcos Villagra

关于问题1，知道超立方体上未知目标顶点和某个已知原始顶点之间的距离可以帮助搜索过程。但是，距离的值本身决定了此信息的帮助程度。

典型的量子游走算法通常是Grover搜索的变体/近似值：它们涉及总希尔伯特空间的二维子空间中状态向量的近似旋转。

您可以使用这些算法在距原点的给定距离处有效地准备所有顶点的近似均匀叠加。然后，您可以使用量子搜索或经典（蒙特卡洛）搜索在此叠加中搜索目标顶点：对于经典搜索，只需准备叠加并在顶点基础上对其进行测量，然后重复进行直到找到目标为止。对于量子搜索，叠加准备过程（及其逆过程）成为子例程，该子例程替换了Grover迭代中的Hadamard变换。

$n$ $d$ $\binom{n}{d}$ $\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$ $\approx n/2$

— 安东尼奥·瓦莱里奥·米塞利·巴隆
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