简单无向图中的随机游走和平均击球时间

令是n个顶点和m个边上的简单无向图。$G=(V,E)$$n$$m$

我正在尝试确定用于生成G的随机生成树的Wilson算法的预期运行时间。那里，它被示出为ø （τ ），其中，τ是平均击打时间：τ = Σ v ∈ V π （v ）⋅ ħ （Û ，v ），其中：$G$$O(\tau)$$\tau$

• 是平稳分布 π （v ）= d （v $\pi$ ，$\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}$
• 是一个任意顶点，并且$u$
• 是命中时间（AKA访问时间），即从顶点 u开始访问顶点 v之前的预期步数。$H(u,v)$$v$$u$

平均击球时间的一般上限是多少？最大化平均命中时间的最坏情况图是什么？$G$

为了使我的问题更清楚，我不需要任何计算或详细的证明（尽管它们可能对将来遇到此问题的其他人很有用）。对我个人而言，引用就足够了。

$\Theta(n)$$\Theta(n \log n)$

$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$$O(n^2)$$O(n^3)$

我知道有两种威尔逊算法的公开实现。一个在Boost Graph Library中，第二个在graph-tool中。前者的文档没有提及运行时间，而后者则指出：

$O(n \log n)$

哪一个没有回答问题，实际上似乎与威尔逊的论文不一致。但我报告这是为了以防万一，以节省与咨询实现文档相同想法的任何人的时间。

$\Omega(n^3)$$\frac{1}{n}$$O(n^2)$

$4n^3/27$$\frac{2}{3} n$

我决定问戴维·威尔逊本人，此后很快得到答复：

$n$$\Theta(n^3)$$n/3$$n/3$$H(x,y)$$x$$y$$H(x,y)$$x$$y$$x$

上面的书中甚至有证据证明了这一点，就像这样：

$n=2n_1+n_2$$n_1$$v_l \neq v_L$$v_R \neq v_r$$v_L - w_1 - \cdots w_{n_2} - v_R$

$n_1$$v_L$$\frac{1}{n_1}$$w_1$$n_1^2$$w_1$$w_1$$\frac{1}{n_2}$$n_1^2 n_2$

$n_1 = n_2 = n/3$$O(n^3)$

诚然，我迷失了他们所说的：

$w_1$$\frac{1}{n_2}$

$\frac{(n+1)^3}{54}$

但是，仍然欢迎对非正式证明发表评论。

在最近的一篇论文中，我们发现威尔逊算法在“弹出的周期”的预期数量上有一个mn上限（没有大的O），并且它紧紧地限制在常数上。由于弹出循环的平均大小似乎并不明显，因此它不能直接回答威尔逊算法的运行时间问题。另一方面，我没有足够的“声誉”来发表评论...