最小击打拟阵中每个基座的集合

我们被赋予了拟阵。我们的目标是找到一组最小尺寸的元素，该元素与拟阵的每个碱基都具有非空的交集。这个问题以前研究过吗？是P吗？例如，在生成树拟阵中，最小击中集应为最小割。谢谢。

我本打算发表评论，但我还没有这样做的声誉。这个问题是在Mathoverflow上交叉提出的，我在这里提到这个问题是NP完全的。

看这里。

为避免与钱德拉·切库里（Chandra Chekuri）的答案矛盾，我认为他的答案中所提供的LP是不可或缺的。要查看此考虑统一拟阵，这里的基础是所有ķ一个的-subsets ñ -set。请注意，向量（1 / k ，1 / k ，… ，1 / k ）是LP的可行解。因此，如果c等于1，则LP的最小值最多为n / k。另一方面，U的最低命中率$U_{k,n}$ $k$$n$$(1/k, 1/k, \dots, 1/k)$$c$$n/k$大小为n−k+1。$U_{k,n}$$n-k+1$

更新：指出的参数不正确。错误是在最后一行，我以为那是一个完全对偶的整数，但是原语覆盖了LP，这是行不通的。

让我们为每个元素e变量编写问题的LP 。我们希望分钟Σ È Ç （ë ）X （ë ），使得Σ Ë ∈ 乙 X （ë ）≥ 1为所有碱基乙和X （ë ）≥ 0对所有$x(e)$$e$$\min \sum_e c(e) x(e)$$\sum_{e \in B} x(e) \ge 1$$B$$x(e) \ge 0$$e$。首先观察到该LP可以在多项式时间内求解，因为LP的分离预言仅仅是找到给定拟阵的最小权重基础的问题。我们要声明该多义词是必不可少的。如果您查看对偶，则它对应于拟阵在给出的容量向量中的填充基。Schrijver第42章说明，当c为整数时，对偶为整数。这意味着原始是不可分割的。$c$$c$

只要可以，以元素数量的多项式时间，检查一组元素H是否是一个命中集，如果不是，则找到一个未命中的碱基，那么问题就落入了“ 隐式命中集”问题的领域。。有关算法和讨论，请参见以下论文。