P是否包含无法理解的语言？（TCS社区Wiki）

答：未知

非常感谢所有帮助完善此问题及其相关定义的人员。

该Wiki的定义为更新的TCS Wiki提供了起点“ P是否包含其存在独立于PA或ZFC的语言？（TCS社区Wiki） ”。

首选较新的Wiki，因为其定义和术语比该较旧Wiki的定义和术语要复杂得多。

特别是，该较旧的Wiki的术语难以理解的 可理解的 语言和TM被神秘的 gnostic取代了在较新的Wiki中。除了定义细节（这很重要）之外，这两个Wiki还解决了类似的问题。$\Leftrightarrow$  $\Leftrightarrow$

欢迎进一步回答

欢迎提供进一步的答案（不用说），并且进一步的定义调整可能是适当的。一个主要的经验教训是，这类问题很难提出，而要严格回答也更具挑战性。

作为背景，Sasho Nikolov的回答被评为“可接受”，因为它提供了表达问题意图的表述：（显然）未知问题的答案。

菲利普·怀特（Philip White）的宝贵答案促使人们对TM的等级定义产生了难以理解，相对难以理解，对规范难以理解的印象（根据下面的列表“不可理解的等级定义”）。

以下问题说明暂时包含了伊藤刚，马齐奥·德·比亚西，哈克·贝内特，里奇·德默，彼得·索尔提供的宝贵见解和建议，以及卢卡 ·特雷维森（Luca Trevisan）的宝贵博客文章。

正式定义

不可理解的图灵机的定义如下（在ZFC中）：

D1   给定一个图灵机M可证明对所有输入字符串停止，如果以下语句对于至少一个正半定实数既不可证明又不可辩驳，则称M为不可理解的：$r$

声明： M的运行时间相对于输入长度为${O}(n^r)$$n$

相反，男叫理解当且仅当它不是不可理解的。

消除不确定性

Wikipedia条目“ 不确定的问题：不确定的示例 ”简要回顾了证据理论和可计算性理论中常用的术语“不确定”。为了避免歧义，提出的定义和问题仅采用“既不可证明也不可辩驳”的术语。

在这方面的更多参考资料包括Jeremy Avigad的课程笔记“ 通过暂停问题导致的不完整性 ”，Scott Aaronson的网络日志文章“ 通过Turing机器的Rosser定理 ”和Luca Trevisan的网络日志发布了两个有趣的问题。

关于难以理解的图灵机的存在

存在难以理解的图灵机，具体是根据艾曼纽·维奥拉（Emmanuele Viola）的构造，以及广泛地基于Juris Hartmanis的复杂性理论框架而得出的。特别是，Viola的构造通过杰里米·阿维加德（Jeremy Avigad）的课程笔记（据我所知）的方法提供了以下引理：

引理[中提琴的含意]
    （如果语言L被可理解的TM接受）          （L被不可理解的TM接受）。$\to$

在定义不可理解性时尊重自然

很自然地想知道与中提琴的暗示的相反含义是否正确。

考虑到自然性，需要谨慎地提出相反的含义，菲利普·怀特（Philip White）的以下注释显示了如何通过多限制器将不易理解的TM 简化为可理解的TM ，这是计算模块（实际上）“填充”了不易理解的机器的运行时间，以将其简化为易于理解的机器。

特别是，很自然地要求我们不要“ 通过引入新的不可理解元素来美学上掩盖旧的不可理解元素。” 与提出的问题相关的主要挑战是“是否存在不可理解性的自然定义？” …（鉴于TCS在此进行的讨论）我们也许应该将其视为非平凡的元问题，它可能有多个自然答案。

考虑到该指导性自然原则，对不可理解性的分级定义指定如下。

难以理解的分级​​定义

D2   我们说图灵机M是有效的，因为它具有运行时间指数这样M接受的语言L不会被其他运行时间指数小于 TM接受  。$r$$r$

D3   我们说一种语言L是难以理解的，前提是它被（a）  至少一台图灵机M既是有效的又是不可理解的，并且（b）  没有有效且可理解的TM可以证明（在ZFC中）接受L.

D4   我们说，一个难以理解的商标是很难理解的，因为它接受的语言是无法理解的。

D5   我们说，一个非常难以理解的TM 如果有效，就完全无法理解。

这些定义确保了每种不可理解的语言都至少被一种通常 无法理解的TM 所接受，而且-鉴于D3（a）和D3（b） -不存在将标准不可理解的TM简化为可理解的TM的琐碎的多限制器还原经证实可以识别相同的语言。

问三个问题

Q1 复杂度等级P   是否包含无法理解的语言？

Q2   可以至少具体地表达一种难以理解的语言吗？（如果是，请提供一个建设性的示例）。

Q3   至少可以具体代表一个不可理解的TM吗？（如果是，请提供一个建设性的示例）。

动机

复杂度类P的无法理解的性质妨碍了对广泛问题的理解，这些问题（对于该问题的原始提出者）包括陶德涛的《蓝眼岛民之谜》，迪克·利普顿和肯·里根的《灰鼠选择游戏》，以及它们在通过平衡优势纽康博弈分析纽康悖论的语境。

正如Juris Hartmanis的专着《可行的计算和可证明的复杂性》（1978年）所述：

如果仅考虑可以正式证明的计算属性，则关于算法复杂性的结果将发生根本性的变化。

努力构造恰当的定义和假设以捕捉Hartmanis的见识有助于我们更好地认识到，复杂度类P中包含一些极其奇特的语言，这些语言已被极其奇特的图灵机所认可，我们目前的特性是（ ）离抓地力还很远。令人惊讶的是，从完全严格的意义上讲，目前尚不知道复杂度等级P是否可理解。

非常感谢所有发表评论和回答的人。

（我将不再回答只是解释了为什么没有问题的不确定实例 /没有时间限制无争议的多时算法的部分答案）

现在，这个问题变成了有关TM的问题，这些TM的运行时间在某些逻辑理论中是可以证明的。对于任何（足够强大的）逻辑理论，都存在一个机器其运行时间是多项式，但是句子“的运行时间是多项式”并且它的否定不能在得到证明。特别是，这意味着存在无法在ZFC中证明其运行时间界限的多时TM。这应该是从Viola的减少（如Scott的博客文章中所述）之后得出的。但是，与其找出答案，不如看看Luca在本博文中的最后评论。在某种程度上，卢卡（Luca）在这里回答了您的问题。他表明：中号中号$T$$M$$M$$T$

• 存在一个多时机，使得ZFC无法证明不占用指数时间$M$$M$
• 对于任何多时制机器，都存在一个机器，它决定相同的语言，并且其运行时间是可证明的（用ZFC表示）多项式（证明简单的模拟也由Peter Shor在评论中提供）M $M$$M'$

因此，似乎您的问题的答案是“否”：某个机器可以在多时制中确定的任何语言都是由可证明的多时制机器决定的。但也许您的问题应该是：

• 是否存在一个多时机，使得决定相同语言的任何机器都不能被证明（在ZFC中）决定与相同的语言，或者不能被证明（在ZFC中）在多项式时间内运行。中号'$M$$M'$$M$

我怀疑答案是肯定的，但现在我没有更多时间专门用于此。

只是试图解释问题的扩展注释。

给定一个图灵机说$M$被承诺停止停止所有输入字符串；当且仅当至少一个时，被称为不可理解的$M$正半定实数整数以下$r$题决策问题 是无法确定的（即不可能构造总是导致正确的是或否答案的单个算法）：$Q_{M,r}$

选项1

M n r$Q_{M,r}(n)$ =“ 在长度为所有输入上，是否以少于步长停止？”$M$$n^r$$n$

微不足道的决定性（有限的字符串，总是通过假设停止）没有难以理解的 TM中号$2^n$$M$$\Rightarrow$

选项2

M O （n r$Q_{M,r}$ =“运行时间为吗？”$M$$O(n^r)$

微不足道的可决定性（1或0）没有不可理解的 TM$\Rightarrow$

并且，如果您问：“好吧，但是我们可以计算值1或0来构建用于回答选项2问题的算法吗？”，那么我们就回过头来：

M O （n r）$Q_{r}(M)$ =“运行时间吗？” 如Emanuele所示，这是不可决定的（使用不确定的标准定义）。但是在此版本中，M是问题的输入，而不是您要为其定义“ 难以理解 ” 概念的固定$M$$O(n^r)$$M$

问题1的答案肯定是“否”。我相信有人在（很长）的注释部分中指出，您可以轻松地在计算机上添加“ polylimiting”。也就是说，即使您不知道r是什么，如果您猜到任何大于r的整数（显然，这肯定是可能的），您都可以设置一个开销机来模拟您的“难以理解的”图灵机，并强制它停止在多项式时间内运行...根本不更改图灵机接受的语言。通过这种方式，您可以将任何“不可理解的”多项式时间Turing机器转换为“可理解的”多项式时间Turing机器，这意味着P中没有语言可以完全由“不可理解的” Turing机器决定。

我希望这有帮助。除非我完全误解了您的问题和意图，否则我的答案肯定是正确的。这根本不是一个开放的问题。