学习平面中的三角形

我给学生们分配了一个问题，即找到一个与的个点的集合一致的三角形，并用标记。（A三角形是一致的与标记的样品，如果包含的所有正和无负点的;可以通过假设，样品坦言至少1一致的三角形）。 $m$ $\mathbb{R}^2$ $\pm1$ $T$ $T$

他们（或我）可以做的最好的事情是在时间运行的算法，其中是样本大小。谁能做得更好？ $O(m^6)$ $m$

— 阿列耶
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只是要清楚一点：三角形的顶点不必是集合的点，对吗？在边界上有负点是可以接受的吗？

— ex0du5

（1）因为对这个问题有误解，所以我投票决定结束这个问题。该系统不允许我取消投票，但实际上是取消投票。（2）我认为有一个O（m log m）时间算法，但是现在没有时间去验证它。想法是计算正例的凸包，并在该凸包周围扫一扫，以找到形成所需三角形的三条线。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@ ex0du5-实际上，三角形的顶点不必包含采样点。至于边界问题，由于它们是非必需的，因此可以在此处忽略。[如果边界算作三角形的一部分，那么边界上就不会有负点。]

— Aryeh

@TsuyoshiIto：我的想法与此类似，但是在某些情况下，三角形的边缘不能与凸包的边缘共线，但是三角形仍然存在。三角形显然仍然包含凸包，但不仅仅是延伸包壳线并找到三角形。您可能需要绕某些顶点旋转的线，以避开负点。这就是为什么我询问边界上的负数的原因，以允许使用一种搜索算法，该算法从船体的顶点到负数之间选择线，以使其保持离散搜索。

— ex0du5

@ ex0du5：好吧，我没有假设三角形的边缘与正例的凸包的某些边缘平行。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

Answers:

正如@TsuyoshiIto所建议的，由于Edelsbrunner和Preparata的缘故，有一个时间算法。实际上，他们的算法找到了一个具有最少可能边缘数量的凸多边形，该凸多边形将两个点集分开。他们还证明了代数决策树模型中更普遍的问题的下界。但是，尚不清楚该下限是否适用于三角形情况。 $O(n\log n)$ $\Omega(n\log n)$

对该算法的完整描述太长，无法在此处发布，但这是基本思想。令为正点的凸包。对于每一个不利点，考虑通过线相切的。这些线将平面分成四个楔形，其中之一包含；令为与包含的楔相对的楔。最后，令（“禁区”）为所有楔形。任何分隔三角形必须将与分隔开 $C$ $q$ $q$ $C$ $C$ $W(q)$ $C$ $F$ $W(q)$ $C$ $F$ 。既和可以被构造时间。 $C$ $F$ $O(n\log n)$

$ C $和$ F $的示例

$F$ $F$ $O(n)$ $F$ $e$ $e$

有关更多详细信息，请参见原始论文：

Herbert Edelsbrunner和Franco P. Preparata。最小多边形间距。 信息与计算 77（3）：218-232，1988年。

— 杰夫斯
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$T$ $T$

$t$ $A$ $B$ $t$ $BC$ $B$ $C$

$t$

$t$
$A$ $B$ $t'$ $A$ $ABC$ $AB$ $BC$ $A$ $C$
$t'$

$O(m^2)$

— 沙拉波达
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