区分

给定一个从一组混合态中随机选择的量子态，正确识别的最大平均概率是多少？ $\rho_A$ $N$ $\rho_1 ... \rho_N$ $A$

通过考虑将与区分的问题，可以将该问题转变为两个状态的可区分性问题。 $\rho_A$ $\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

我知道对于两个量子状态，当您最小化最大错误概率而不是最小化平均错误概率时，就状态之间的迹线距离而言，问题有一个很好的解决方案，我希望对于这个案例。当然可以根据POVM的优化来写出概率，但是我希望已经进行了优化的东西。

我知道有大量关于量子态可区分性的文献，过去几天我一直在阅读大量论文，试图找到这个问题的答案，但是我很难找到答案。问题的特殊变化。我希望有人知道文学更好，可以为我节省一些时间。

严格来说，我不需要确切的概率，一个好的上限就可以了。但是，任何一个状态与最大混合状态之间的差异都非常小，因此在该限制内边界必须有用。

— 乔·菲茨西蒙斯
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由于正确答案的概率是半定程序的最大值，因此考虑对偶以获取上限通常很有用。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@TsuyoshiIto：的确如此，但是我猜测这个问题已经得到了很好的研究，可能会有固定的结果。

— Joe Fitzsimons 2012年

您知道经典概率分布的类似问题是否有很好的答案？您提到的“迹线距离”结果是对经典分布使用“统计距离”（又称“总变化距离”）的概括。[在经典情况下，自然的策略是选择最有可能产生特定输出的分布。您可以写下其成功概率的封闭形式，尽管我不知道它是否可以用简单的数量（例如分布之间的平均距离）来表示。]

— Adam Smith，

@AdamSmith：看来，传统上，您可以根据每个分布的发生概率对每个分布进行加权，然后选择最可能给出观察结果的分布。

— 2012年

如您所提到的，可以通过数字确定最佳的平均成功概率，这可以通过半定编程有效地完成（例如，参见Eldar，Megretski和Verghese的这篇论文或John Watrous的这些讲义），但是没有闭合形式的表达式是众所周知。

但是，错误概率有几个已知的上限和下限（即1减去平均成功概率）。就成对保真度而言，已知设置中的错误概率下限为，和上界由 $\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$ 。 $\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

根据走线距离还存在另一个下界：，在的情况下减小到精确的Helstrom界。有关所有这些方面以及其他一些方面的比较，请参见本文。请注意，所有这些界限都适用于平均情况下的设置，在这些情况下，状态之间存在先验概率分布。 $\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$ $N=2$

— 阿什莉·蒙塔纳罗（Ashley Montanaro）
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太好了，谢谢阿什利。就走线距离而言，错误概率的下限几乎正好是我想要的。实际上，如果我没有得到一个很好的答案，我的备份计划将是给您发送电子邮件，因为我知道您已经在处理这些东西。

— Joe Fitzsimons 2012年

在误差概率接近于1的极限中，是否有任何可行的极限？迹线距离似乎最大为1/2。我目前正在尝试保真度，但是我认为我无法真正计算出我正在解决的问题中的保真度，而且您给出的界限似乎对加性误差非常敏感。

— Joe Fitzsimons 2012年

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