零积分差距是否意味着某些问题的对偶差距为零？

我们知道，如果整数程序的值与其对偶之间的差（“对偶间隙”）为零，则整数程序的线性编程弛豫和弛豫的对偶均接受积分解（零“积分”间隙”）。我想知道，至少在某些情况下，这种情况是否成立。

$P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$ $A$ $0-1$ $P'$ $P$ $P'$

我将不胜感激任何反例或指针。

— 安库尔
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@Kaveh不确定在这里近似算法是正确的标记。甚至ds.algorithms

— Suresh Venkat

在第一段中，整数程序的对偶是什么意思？看看Schrijver的关于线性和整数编程的书来理解多面体理论的基础是很有用的，特别是当线性编程松弛具有整数顶点时。不等式的TUM矩阵和TDI系统与您的问题有关。

— Chandra Chekuri

@Suresh，线性编程和优化不属于算法范围吗？

— 卡夫

@ChandraChekuri我在说整数线性程序；因此对偶是ILP的标准对偶，弱对偶适用于此。这里的困难在于，（原始）LP解的完整性的充分条件（例如TUM /平衡等）似乎要通过看似更强的原始及其对偶LP解的完整性概念。这使我想知道，至少对于积分系数，原始解的完整性是否包含对偶解的完整性。PS：我可以步行去Siebel，我们可以在那儿聊天！几年前我在你班上！

— ANKUR

这个特定问题更接近其当前的标签。

— Suresh Venkat 2012年

这是一个可能接近索赔反例的实例。

考虑LP 和其双为矩阵 $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$ $P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$ $12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

最佳解由（所有其他变量均为零）给出，目标函数值为。最佳解由向量。如果将求解为整数程序，则最佳目标函数值仅为，并且 $P'$ $y_1=y_2=y_{12}=1$ $3$ $P$ $x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$ $P$ $2$ 是最佳解决方案。 $x = [1~0~0~1~0~0]$

$P'$ $P$

— kbala
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谢谢！那行得通！您是如何提出这个例子的？从中得出一类问题吗？

— ANKUR

该矩阵是莫比乌斯带的边界矩阵的修改，在我们的最佳同源循环中给出。我最近一直在研究这些边界矩阵，因此从某种程度上自然地从这个矩阵开始创建了我给出的示例。

— kbala 2012年