一元确定性双向自动机可识别的一元语言

2dca（双向确定性单计数器自动机）（Petersen，1994年）可以识别以下一元语言：

P O W E R = {0^{2^{n}} ∣ n \geq 0} .

$\begin{equation} \mathtt{POWER} = \lbrace 0^{2^n} \mid n \geq 0 \rbrace. \end{equation}$

2dca还可以识别其他任何非平凡的一元语言吗？

请注意，尚不清楚2dca是否可以识别吗？ $\mathtt{SQUARE} = \lbrace 0^{n^2} \mid n \geq 0 \rbrace$

定义：2dca是带有计数器的双向确定性有限自动机。2dca可以测试计数器的值是否为零，并在每一步中将计数器的值增加或减少1。

fl.formal-languages automata-theory counter-automata

— Abuzer Yakaryilmaz
source

您可以添加一个链接到2DCA的定义吗？

— Suresh Venkat 2012年

@SureshVenkat：我添加了参考和定义。

— Abuzer Yakaryilmaz

@AbuzerYakaryilmaz：每固定

它可以识别

k

$k$

{0^{k^{n}} : n \geq 0}

$\{0^{k^n} : n \geq 0\}$

— 马兹奥德BIASI

@MarzioDeBiasi：算法用于

可以很容易地推广到

，其中

。因此，这些语言对我来说微不足道。

P O W E R

$\mathtt{POWER}$

P O W E R_{k} = {0^{k^{n}} ∣ n \geq 0}

$\mathtt{POWER_k} = \{0^{k^n} \mid n \geq 0\}$

k \geq 3

$k \geq 3$

— Abuzer Yakaryilmaz

嗯，事实上，我认为这样就可以得出Marzio已经做出的相同观察结果，所以我所说的内容并不新鲜。不过，我仍然对是否需要多次阅读结束标记感兴趣。

— domotorp

Answers:

这只是我在阅读Marvin L. Minsky，“邮递机的标签问题和图灵机理论中的其他主题的递归不可解性”时想到的一个想法；特别是著名的定理Ia：

定理Ia：我们可以使用以下形式的指令通过对两个整数和进行运算的程序来表示任何部分递归函数：（ i）ADD 1至，然后转到（ ii）从减去1 ，如果并转到，否则转到也就是说，我们可以构造一个以开头的程序 $f(n)$ $S_1$ $S_2$ $I_j$
$S_j$ $I_{j_1}$
$S_j$ $S_j \neq 0$ $I_{j_1}$ $I_{j_2}$
和并最终以和停止 $S_1 = 2^n$ $S_2 = 0$ $S_1 = 2^{f(n)}$ $S_2 = 0$

如果您在（半）无限磁带上有一个带有计数器的双向DFA，其中输入以一元形式给出：则DFA可以： $\$1^{2^n}000...$

读取一元输入（并将其存储在计数器中）；
在工作带的一部分，并且使用来自所述距离 S作为第二计数器。 $0^\infty$ $1$

因此它可以模拟一个图灵完整的两个计数器机器。

现在，如果您有一个在时间上在标准Turing机器上运行的递归函数，则带有限计数器的一个计数器的双向DFA在有限的磁带上开始 $f(n)$ $T(n)$ $\$1^m\$ \;$ （其中和）可以： $m = 2^n3^{T'(n)}$ $T'(n) \gg T(n)$

读取一元输入（并将其存储在计数器中）；
返回最左边的符号；
以这种方式将计数器除以3，直到计数器包含：从状态右循环并减去1；如果在状态计数器达到0，则转到最左边的符号加+1并继续除法循环；否则，添加1（如果处于状态）或2（如果处于状态）并转到最左侧的符号加上+ 3（即恢复未被3整除的计数器的先前值）并继续执行步骤4。 $2^n$ $q_{z_0}, q_{z_1}, q_{z_2}$ $q_{z_0}$ $q_{z_1}$ $q_{z_2}$
此时计数器包含 ; $2^n$
使用右侧可用的空间作为第二计数器来计算第二计数器的值是距最左边符号的距离）。 $2^{f(n)}$ $T'(n)$ $\$$

因此，使用上述特殊输入编码（在有限磁带上为其留有足够的空间），带有一个计数器和一进制字母的双向DFA可以计算每个递归函数。

如果该方法是正确的，这将是有趣的原因了解如何选择，或者当它是足够选择一个大奇和输入编码为， $T'(n) \gg T(n)$ $k \gg 2$ $1^m$ $m = 2^n k^n$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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不平凡的是，我假设您的意思是1dca无法接受的语言L。这里似乎是这样一种语言：

中心= {w | w在{0,1} *之上，对于某些x，y，w = x1y，使得| x | = | y |}

1dca无法接受此语言，但1nca可以接受。可以被2dca接受。细节留作练习。

— 用户14004
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OP请求一元语言（输入为

）

$ 1^{n} $

$\$1^n\$$

— Marzio De Biasi