相关记录的参数化和投影消除

A \times B ≜ \forall α . (A \to B \to α) \to α

$A \times B \triangleq \forall\alpha.\; (A \to B \to \alpha) \to \alpha$

π_{1} : A \times B \to A

$\pi_1 : A \times B \to A$

π_{2} : A \times B \to B

$\pi_2 : A \times B \to B$

即使F型的自然读数是一对带有let样式消除的对，也并不令人惊讶。 $\mathsf{let}\;(x,y) = p \;\mathsf{in}\; e$ ，因为两种对在直觉逻辑中是可互换的。

现在，在具有强制性量化的从属类型理论中，您可以遵循相同的模式来编码从属记录类型 $\Sigma x:A.\; B[x]$ 为

Σ x : A . B [x] ≜ \forall α . (Π x : A . B [x] \to α) \to α

$\Sigma x:A.\;B[x] \triangleq \forall\alpha.\; (\Pi x:A.\; B[x] \to \alpha) \to \alpha$ 但是在这种情况下，没有一种简单的方法定义投影消除

π_{1} : Σ x : A . B [x] \to A

$\pi_1 : \Sigma x:A.\;B[x] \to A$ 和

π_{2} : Π p : (Σ x : A . B [x]) . B [π_{1} p]

$\pi_2 : \Pi p:(\Sigma x:A.\;B[x]).\; B[\pi_1\,p]$ 。

但是，如果类型理论是参数化的，则可以使用参数化来显示 $\pi_2$ 是可定义的。这似乎是众所周知的-例如，参见Dan Doel的Agda开发，他在不加评论的情况下得出了它--但我似乎找不到这个事实的参考。

有人知道参数化允许为从属类型定义投影消除吗？

编辑：到目前为止，我发现的最接近的东西是赫尔曼·格弗斯（Herman Geuvers）于 2001年发表的这篇论文，归纳法不是二阶依赖类型理论的推导，他证明了如果没有参数化，就不可能做到。

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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我不能从这篇文章中看出问题是什么。（我对该地区一无所知，也不会知道，但我希望能够阐明这个问题）

— Vijay D

我在编辑上方添加了一个明确的问题行。这有帮助吗？

— Neel Krishnaswami 2012年

是。最初我只是不确定这是参考请求还是证明请求。我会问周围。

— 维杰D

几个月前，我在这里进行了讨论：queuea9.wordpress.com/2012/03/28/why-not-lambda-encode-data，我相信参数->消除原理是Dan的民俗/原创作品。这些讨论与J.-P. 伯纳迪。您可能想看看Coq标准库围绕相关总和的发展情况：coq.inria.fr/stdlib/Coq.Init.Specif.html以及coq.inria.fr/stdlib/Coq.Logic.EqdepFacts.html#

— 科迪2012年

@kvb：我认为目前还没有一个肯定的答案。在我最近的关于构造微积分中的参量的草稿中（与Derek Dreyer一起使用）（mpi-sws.org/~neelk/internalizing-parametricity.pdf），我们表明参量使添加公理的声音听起来很合理，这可以使您逐渐摆脱困境教会编码。但是，对于如何以一种计算良好的方式内部化参数性，我们还没有一个好故事（很可能我们需要将JP Bernardy的方法整合到类型理论中）。这似乎并非不可能，但我们还不知道如何。

— Neel Krishnaswami

我刚刚与Dan Doel交谈，他解释说，他的推荐对象实际上是Neel Krishnaswami。他看到您对n咖啡馆的评论，即有人可以使用参数进行强感应，因此他继续进行，并将其作为一种练习，但并未意识到对sigma进行这样做显然是一种新颖的结果。

准确的说法是：“我的参考是他。我以为他说有可能，所以我做到了。”

— lv
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