随机增量式Delaunay三角剖分算法的最坏情况是什么？

我知道随机增量Delaunay三角剖分算法（如“ 计算几何”中给出）的预期最坏情况运行时间为 $\mathcal O(n \log n)$ 。有一个练习暗示最坏的运行时是。我试图构建一个例子，其中确实是这种情况，但到目前为止还没有成功。 $\Omega(n^2)$

这些尝试之一是按以下方式安排和排序点集：在步骤添加点时，将创建大约边。 $p_r$ $r$ $r-1$

另一种方法可能涉及点定位结构：尝试排列点，以使在点定位结构中用于在步骤定位点的路径尽可能长。 $p_r$ $r$

不过，我不确定这两种方法中的哪一种是正确的（如果有的话），并且会很高兴得到一些提示。

— 泰迪尔
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尝试将所有点放在曲线上

y = x^{r}

$y = x^r$ 对于一些精心挑选的

r

$r$ 。

— 彼得·索尔

第一种方法可以形式化如下。

让 $P$ 是任意集 $n$ 抛物线的正分支上的点 $y=x^2$ ; 那是，

P = {(t_{1}, t_{1}^{2}), (t_{2}, t_{2}^{2}), \dots, (t_{n}, t_{n}^{2})}

$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$ 对于一些正实数

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

$t_1, t_2, \dots, t_n$ 。在不失一般性的前提下，假设这些要点的索引升序排列：

0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}

$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ 。

索赔： 在Delaunay三角剖分中 $P$ ，最左边的点 $(t_1, t_1^2)$ 是的每个其他点的邻居 $P$ 。

这种说法意味着增加一个新的观点 $(t_0, t_0^2)$ 至 $P$ 与 $0 < t_0 < t_1$ 添加 $n$ Delaunay三角剖分的新边缘。因此，归纳地讲，如果我们渐进地收缩Delaunay三角剖分 $P$ 通过按从右到左的顺序插入点，创建的Delaunay边的总数为 $\Omega(n^2)$ 。

我们可以证明这一主张如下。对于任何实际价值 $0<a<b<c$ ，让 $C(a,b,c)$ 通过点表示唯一的圆圈 $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$ 。

引理： $C(a,b,c)$ 不包含任何点 $(t,t^2)$ 哪里 $a<t<b$ 要么 $c<t$ 。

证明：记得四点 $(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$ 当且仅当是圆形的

| \begin{matrix} 1 & a & b & a^{2} + b^{2} \\ 1 & c & d & c^{2} + d^{2} \\ 1 & e & f & e^{2} + f^{2} \\ 1 & g & h & g^{2} + h^{2} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$ 因此，一点

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ 躺在圆上

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ 当且仅当

| \begin{matrix} 1 & a & a^{2} & a^{2} + a^{4} \\ 1 & b & b^{2} & b^{2} + b^{4} \\ 1 & c & c^{2} & c^{2} + c^{4} \\ 1 & t & t^{2} & t^{2} + t^{4} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$ 扩展和分解因子并不难（例如，请Wolfram Alpha）

4 \times 4

$4\times4$ 行列式为以下形式：

\begin{matrix} (*) & (a - b) (a - c) (b - c) (a - t) (b - t) (c - t) (a + b + c + t) = 0 \end{matrix}

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$ 从而，

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ 位于

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ 当且仅当

t = a

$t=a$ ，

t = b

$t=b$ ，

t = c

$t=c$ ，要么

t = - a - b - c < 0

$t=-a-b-c < 0$ 。而且，因为

0 < a < b < c

$0<a<b<c$ ，这四个根是不同的，这意味着抛物线实际上穿过了

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ 在这四个点。它遵循

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ 躺在里面

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ if and only if

- a - b - c < t < a

$-a-b-c<t<a$ or

b < t < c

$b<t<c$ .

◻

$\qquad\Box$

— Jeffε
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Thank you, even though I actually only wanted a hint (without the proof) ;)

— Tedil