如何生成具有已知最佳顶点覆盖的图形

我正在寻找一种生成图的方法，以便知道最佳的顶点覆盖率。节点或边的数量没有限制，只有图形已完全连接。

想法是生成一个不容易找到最佳顶点覆盖的图形，以便能够测试其上的不同启发式方法

我发现了论文《Arthur，J.＆Frendeway，J.用已知的最优行程生成旅行商问题》，《运筹学学会杂志》，第1卷。39，第2号（1988年2月），第153-159页，用于生成具有已知最优值的TSP，可惜我无法访问它。

有已知的算法吗？

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— 安德烈斯
source

“对节点或边的数量没有限制，只是图形已完全连接。” 您需要更多的限制。否则，我将生成一组完整的图并知道每个图的最佳顶点覆盖范围。

— 泰森·威廉姆斯

这里是一个非常简单的方法：首先，构造一个匹配

。对于每一个边缘

，一个端点添加到您的顶点覆盖

。然后添加任意数量的其他节点。然后添加任意数量的边，以使每个边在

中至少具有一个端点。一定

将是最小的顶点覆盖。（不幸的是，有许多图不能通过这种方式生成：例如

。）

M

$M$

e \in M

$e \in M$

C

$C$

C

$C$

C

$C$

K_{3}

$K_3$

— Jukka Suomela 2012年

我想“生成随机二分图并计算其顶点覆盖范围”不会算作有用的答案……

— David Eppstein 2012年

有许多策略可以创建“硬” SAT实例，如果愿意的话，还可以创建存档的“硬”实例的存储库，即将SAT实例转换为顶点覆盖。也有很多研究是从经验pov研究SAT的，而pov自然会转化为所有其他NP完整问题，例如过渡点等。所有这方面的许多参考文献……

— vzn 2012年

甚至比David指出的在Koning图上顶点覆盖的多项式时间可解性更广，从参数化复杂性的领域中可以得出以下结果：存在一个常数c，对于每个固定整数k，都有一个O（n ^ c）时间算法，以测试图的顶点覆盖范围是否超过其最大匹配大小最多k。当k = 0时，Konig图是特例。

— 巴特·詹森

Answers:

将vzn的评论扩展为答案：从CNF-SAT到顶点覆盖的标准简化非常容易：为每个术语（变量或其取反）创建一个顶点，通过边将每个变量与其否定连接，为每个子句创建一个派系，然后将集团中的每个顶点连接到该条款中其中一项的顶点。如果从已知满意的赋值开始满足可满足性问题，这将为您提供具有已知最优解的顶点覆盖问题（选择赋值给定的术语顶点，在每个子句中选择一个顶点即可，除未选择的子句顶点与选择的术语顶点相邻）。

因此，现在您需要找到具有令人满意的分配但很难找到解决方案的可满足性问题。有许多已知的方法来产生严格的可满足性问题（例如，生成接近可满足性阈值的随机k-SAT实例），但是您知道令人满意的分配的额外要求限制了可能性。您可以在这里做的一件事是，从因数分解等密码学难题出发，再进行另一层还原。即选择两个大质数p和q，建立一个布尔电路，将p和q乘以二进制数，然后将其转换为CNF公式，其中每个输入（p和q）以及中间的每个中间值都有一个变量电路中的电线，每个输出的子句强制其具有正确的值，每个门的条款强制门的输入和输出彼此一致。然后将此CNF公式转换为顶点覆盖。

对于更简单的策略，首先选择对3CNF公式满意的赋值，然后随机生成子句，仅保留与赋值一致的子句，然后转换为顶点覆盖。如果子句具有统一的概率，这将很容易受到基于程度的启发式的影响（与所选赋值相匹配的术语顶点的程度要低于与不匹配的术语顶点的程度），但是可以通过调整子句的概率来避免这一缺点根据条款中有多少条款与所选分配相符。这可能易受某种多项式时间攻击的影响，但对于顶点覆盖来说可能不是很自然，因此尽管没有太多保证硬度，但它可能会成为一组很好的测试实例。

— 大卫·埃普斯坦
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