用分类术语解释应用函子-单向函子

我想Applicative从范畴论的角度理解。

该文档的Applicative说，这是一个强烈的宽松monoidal仿函数。

首先，维基百科有关单调子函子的页面说，单调子函子要么松懈要么强大。因此在我看来，其中一个来源是错误的，或者它们使用的术语不同。有人可以解释吗？

其次，哪些Applicative是单曲面函子的单曲面类别？我假设函子是标准Haskell类别（对象=类型，态射=功能）上的内函子，但我不知道该类别上的单曲面结构是什么。

感谢帮助。

实际上，“力量”一词在这里有两种用法。

• 甲强endofunctor 在monoidal范畴（Ç ，⊗ ，我）是一个其中带有一个天然转化σ ：甲⊗ ˚F （乙）→ ˚F （甲⊗ 乙），满足相对于一些相干性条件我会掩饰的伙伴。有时也称这种情况为“ F有力量”。$F : C \to C$$(C, \otimes, I)$$\sigma : A \otimes F(B) \to F(A \otimes B)$$F$

• 甲涣散monoidal算符 是2个Monoidal范畴之间的算符（ç ，⊗ ，我）和（d ，⊕ ，Ĵ ）与自然变换φ ：˚F （甲）⊕ ˚F （乙）→ ˚F （甲⊗ B ）和i ：J → F （I $F : C \to D$$(C, \otimes, I)$$(D, \oplus, J)$$\phi : F(A) \oplus F(B) \to F(A \otimes B)$$i : J \to F(I)$，再次满足关联者的一致性条件。

• 甲强monoidal算符 是其中φ和我是天然同构。即，˚F （甲⊗ 乙）≃ ˚F （甲）⊕ ˚F （乙），用φ和它的逆描述同构。$F : C \to D$$\phi$$i$$F(A \otimes B) \simeq F(A) \oplus F(B)$$\phi$

在Haskell程序的意义上，一个应用函子是具有强度的松散单调函数，其单调结构是笛卡尔积。因此，这就是为什么您会听到听起来有些矛盾的术语“强松散单极子函子”的原因。

顺便说一句，在笛卡尔封闭类别，具有强度相当于一个天然转化存在米一个p：（甲⇒ 乙）→ （˚F （甲）⇒ ˚F （乙））。即，具有强度意味着可以将函数作用定义为编程语言中的高阶函数。$F$$\mathrm{map} : (A \Rightarrow B) \to (F(A) \Rightarrow F(B))$

最后，如果您对Haskell样式的应用函子的类型理论感兴趣，那么我就写了一篇博客。

为了理解由单子驱动的Applicative，我想指出以下结构：

Yoneda引理暗示与n a t（H o m（A ，B ），F B ）之间存在同构。在Haskell类型类别，这是映射 一个↦ （克↦ ˚F （克）（一）） 型的 ˚F 甲→ 乙甲 → ˚F 乙。 以F A评估$FA$$\mathrm{nat}(\mathrm{Hom}(A,B),FB)$

$$a\mapsto\left(g\mapsto F(g)(a)\right)$$ $$FA\to B^A\to FB.$$ $FA$，然后将函子箭头映射应用于结果函数-如果自然变换的组成部分像箭头一样有意义-并再次抽象化，我们将获得类型为F A → F的映射 $FA$ 现在，如果函子带有从 F F B映射到 F B的单子“ join”，并且如果我们在lambda抽象和前两个参数槽之间切换，我们可以得到类型为 F的函数 $$FA\to F\,B^A\to FFB.$$ $FFB$$FB$ 用<*>表示。（这也是你通过得到的大号我˚F ŧ 中号2 我ð在Haskell）。 $$F\,B^A\to FA\to FB,$$ $\mathrm{LiftM2\ id}$