具有函数空间的归纳类型的闭合序号

由有限乘积和总和构造的函子具有闭合序数 $\omega$，在Francois Metayer的这份手稿中进行了详细 介绍。即我们可以达到归纳类型$nat := \mu X. 1 + X$ 通过迭代函子 $1 + X$，它在达到 $\omega$ 迭代。

但是一旦我们允许常数取幂，例如 $\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$， 然后 $\omega$ 还不够

我正在寻找包含幂运算的结果。哪种普通食品就足够了？

尤其值得一提的是，提供了证明此类函子是 $\alpha$-对于某些序数是连续的 $\alpha$ 就像上面的手稿一样。

您问题的答案取决于几件事，其中最重要的是函数空间的大小。我会解释。限定

$$O_0 = nat$$ $$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$$ 正如您在回答中指出的那样，每个 $O_n$在内部可以被认为是$n$-系统的常规主教。在集合论中，此数据类型可以用实际的序数表示，并且适当大。

但是，这样的构造可能会添加到类型理论的某种形式中，问题就变成了：对该构造进行集理论解释需要什么序数？现在，如果我们将自己限制在构造语义上，那么自然的想法是尝试通过这种类型的“实现器”集合来解释每种类型，这是“实现器”集合的子集。$\lambda$项或等效的自然数 $\mathbb{N}$。

在这种情况下，很容易证明序数对于任何 $O_n$，但此序数增长很快。太快了？同样，这取决于尝试构建函数时的自由度。建立这样的序数的理论在大型可数序数的理论中有描述，令人惊讶的是，维基百科有很多话要说。通常，很容易证明所讨论的序数小于Church-Kleene序数，除非您允许使用非构造性的构建函数方法（例如$Beaver(n)$ 计算具有以下内容的计算机的繁忙海狸编号 $n$ 状态）。

不过，这并没有多说，只是在构造理论中，您只需要构造序数即可构建解释。还有更多话要说。首先，Thierry Coquand有一个非常不错的演示，其中详细说明了在没有其他类型的消除器的情况下，$nat$，您可以建立 $O_1$ 恰好在 $\epsilon_0$ 脚步。

通常，类型理论的逻辑强度与其可以以这种方式表示的最大序数的大小之间似乎存在对应关系。这种对应关系是Ordinal Analysis的主题，自60年代末以来已进行了很长时间的研究，并且至今仍在研究中（带有一些令人惊奇的悬而未决的问题）。但是警告：主题既有趣又技术性。

希望这可以帮助。

我认为我找到了一个答案，该答案在类似于Set的类别中有效。它是定理3.1.12中的初始代数和末尾代数： Adamek，Milius和Moss进行的一项调查。

答案是，没有一个序数足以满足所有此类函子。他们任意大。

更确切地说， $F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$，答案是第一个规则序数大于所有$A_i$。我们说$\alpha$ 如果一切都正常 $\beta < \alpha$，全部 $\beta$索引的普通链< $\alpha$ 拥有最高< $\alpha$。大致，$\alpha$ 不能从较小的较小序数的较小链中获得。

关键结果是 $\alpha$ 有规律的序数 $\alpha$-分支树具有超限深度< $\alpha$。

非正式地，我理解任何 $f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ （即 $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$）“适合” $A_k \rightarrow F^j(0)$ 哪里 $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$。那$j < \alpha$ 持有正是因为 $\alpha$ 是定期的 $|A_k| < \alpha$。

所以 $(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ 每个 $k$。

因此，将其扩展到 $+$和 $\times$s，我们有： $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$，因此达到了固定点 $\alpha$。

我还不清楚如何在Set之外推广这一论点。我们如何服用$A_k$索引的colimits？