图的组合嵌入

在这里：http : //www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf（在“嵌入”一章中）给出了平面图组合嵌入的定义。（带有面的定义等）尽管可以轻松地用于任何图形，但他们将平面图形定义为具有Euler公式的图形（假设该图形已连接）。几乎可以理解，对于每个平面图，组合嵌入中的面定义类似于拓扑嵌入中的面定义。（假设该图已连接。否则，在组合嵌入中，每个连接的组件将具有无限的面）

问题是：如果对于某些连通图，其组合嵌入满足Euler公式，这是否意味着该图在拓扑意义上是平面的（它具有平面嵌入，即它是平面图）？

实际上，这与图形本身无关，而与拓扑有关。组合嵌入定义了2个流形，即一个拓扑空间，其中每个点都具有与2维开放磁盘同胚的同形性：该嵌入允许定义一个面，并且我们可以通过为每个选择一个磁盘来定义拓扑空间并将其沿图形边缘粘合在一起。拓扑中的一个众所周知的定理（称为2流形的分类）准确地告诉我们2种流形是可能的，并且通过它们是否可定向或它们具有相同的欧拉特性（或两者）来区分它们。 ）-参见http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdf有关此主题的一些合理的讲义，包括您要求的证明。此分类中没有其他2个流形具有与球相同的欧拉特征，因此，如果您计算欧拉特征并发现它与球的公式匹配，则您知道您的嵌入必须在球上。

一旦有了平面组合嵌入，在平面中找到具有实际几何坐标的嵌入并不是一件容易的事，但是可以使用Schnyder Woods理论完成。例如，我在http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/上有一些讲义。