从平面网格中随机选择的点上的最短哈密顿路径的预期长度是多少？

$k$ 从一个随机选择不同的点 $p\times q$ 网格。（明显 $k\leq p\times q$ 并且是一个给定的常数。）由此得出一个完整的加权图 $k$ 点使得顶点之间的边缘权重 $i$ 和顶点 $j$ 等于原始网格上两个顶点的曼哈顿距离。

我正在寻找一种有效的方法来计算通过这些路径的最短（最小总重量）哈密尔顿路径的预期长度 $k$ 节点。更准确地说，不需要以下幼稚的方法：

$\bullet$ 计算k个节点的所有组合的确切路径长度，并得出预期的长度。

$\bullet$ 使用最小生成树的基本试探法计算k个节点的所有组合的近似路径长度，该方法可产生高达50％的误差。（更好的启发式方法，更少的错误可能会有所帮助）

— Javad
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目前，由于平面网格上的非加权哈密顿路径问题是NP完全的，因此没有有效的算法。

— Mohammad Al-Turkistany 2012年

当您谈到哈密尔顿路径时，您是否想着重量最小的哈密尔顿路径（又称旅行商问题）？

— a3nm 2012年

@ MohammadAl-Turkistany HAM PATH的硬度不一定是障碍，因为OP只是随机点的估计。

— Suresh Venkat 2012年

@ a3nm是的，我已将其修复。

— Suresh Venkat 2012年

计算许多随机样本的确切游历长度有什么问题

k

$k$ 点，并找到期望值和标准差？你需要多大

k, p, q

$k, p, q$ 成为？

— 彼得·索尔

假如说 $p$ 和 $q$ 长度相当大，因此可以预期，预期长度将主要取决于密度，而某些校正项取决于周长。因此，一阶是以下形式的函数。

L \approx (p q k)^{1 / 2} f (k / p q) + (p + q) g (k / p q) .

$L \approx (pqk)^{1/2} f(k/pq) + (p+q) g(k/pq).$

现在，您可以对较小的问题进行实验，以找出 $f$ 和 $g$ 是。一，估算 $f$ ，您想在无边界的样本上进行实验：最简单的方法是使用 $p\times p$ 网格，左侧连接到右侧，顶部连接到底部，形成一个圆环。估计 $g$ ，您可以在 $p \times q$ 网格。

对于估计，您需要解决（完全或近似）相对较大的TSP，因为用于估计的TSP越大，结果越好。您可以使用百分之几以内的启发式方法，也可以使用精确的TSP代码。参见此处了解一些良好的启发式方法。Bill Cook的Concorde TSP求解器将为相当大的实例找到精确的最优值（这是可用的最佳TSP代码），并且可以免费用于学术研究。

— 彼得·索尔
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使用TSPLIB的术语，我在寻找SOP而不是TSP。乘以

E [L]

$E[L]$ 为TSP计算的

(k - 1) / k

$(k-1)/k$ 给出SOP的上限。不幸的是，协和TSP解算器无法处理SOP，我无法在线找到任何SOP解算器。

— Javad 2012年

我猜是为了计算

E [L]

$E[L]$ ，有较大的情况

L

$L$ 的和较小的

L

$L$ 的分布均匀

E [L]

$E[L]$ ，因此人们可能想出了一种建设性的方法来寻找

k

$k$ 网格中的点（大概）

E [L]

$E[L]$ 。找到这样的安排显然会大大降低计算成本。

— Javad 2012年

我也不太了解系数的原因

k^{2}

$k^2$ 。为什么不应该

k^{2} / (p q)

$k^2/(pq)$ ？近似公式对于较小的值如何变化

p

$p$ 和

q

$q$ ？

— Javad 2012年

@Javad：好问题。我错了，因为我不知何故在想

k^{2}

$k^2$ 我写我的答案的要点。该系数来自我的假设，即

p \times q

$p\times q$ 网格具有单位长度的边，所以整个区域都是大小

p \times q

$p \times q$ 。平均边缘应为长度

θ (\sqrt{p q / k})

$\theta(\sqrt{pq/k})$ ，还有

k

$k$ 边缘，所以如果你想

f

$f$ 为了保持大致恒定，第一项应该是

\sqrt{p q k} f (k / p q)

$\sqrt{pqk} f(k/pq)$ 。

— 彼得·索尔

对于

k \approx 10^{6}

$k \approx 10^6$ ，TSP长度和SOP长度之间的差异几乎可以忽略不计。

— 彼得·索尔