属问题的逼近度

关于类问题的可近似性，目前知道什么？初步搜索告诉我，对于足够稠密的图，恒定因子近似是微不足道的，并且已经排除了近似算法。此信息是最新的还是已知更好的界限？$n^\epsilon$

最好的发表结果都出现在1997年的 Chener Chen，Saroja P. Kanchi和Arkady Kanevsky的论文中。

• 对于任何固定的，计算具有加性误差是NP-hard。$\varepsilon>0$$O(n^\varepsilon)$

• 有一个简单的线性时间算法可将（未知）属任何顶点图嵌入到属的可定向曲面上：将任意循环顺序分配给保留每个顶点的边（将循环和平行边保持在一起）。换句话说，当属大时，每个嵌入都是最佳嵌入的良好近似。$n$$g$$\max\{4g, g+4n\}$

• 有界图的多项式时间$O(\sqrt{n})$逼近算法。

是否存在有效的恒定因子近似算法是一个悬而未决的问题。

我想补充一下Jɛff E的全面答案，据我所知，这个问题的近似因子没有下界。据我们所知，可以有一个近似算法，始终提供恒定的因子近似值（即使属很小）。

Chen，Kanchi和Kanevsky [CKK '97]的论文仅说，计算具有加法误差属是NP难的。这是他们论点的非常非正式的提纲。显然，该论点不能用于证明近似因子的下限。考虑一个图，使得确定或（对于某些）很难NP。; 由于问题很难解决，因此存在这样的图。令为的顶点数。令为一个大常数。取图不相交的副本ģ 克Ë Ñ ù 小号（ģ ）≤ 克* 克Ë Ñ ù 小号（ģ ）≥ 克* + 1 克* Ñ ģ ķ Ñ = Ñ ķ ģ ģ ' 克é ñ ù 小号（ģ '）≤ ñ 克* 克ë ñ $O(n^{1-\varepsilon})$$G$$\mathrm{genus}(G) \leq g^*$$\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$$g^*$$n$$G$$k$$N = n^k$$G$考虑他们的工会。然后在获得的图，很难确定或。也就是说，要计算且附加误差，其中。这种构造不会给我们逼近因子的任何下界。之比到等于比率到。$G'$$\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$克Ë Ñ ù 小号（ģ '）ñ = （Ñ Ñ ）ķ / ķ + 1 = | V （G '）| k / k + 1 = | V （G '）| 1 - ε ε = 1 $\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$$\mathrm{genus}(G')$$N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$N （g ∗ + 1 ）N g ∗ g ∗ + 1 g $\varepsilon = 1/(k+1)$$N(g^*+1)$$Ng^*$$g^*+1$$g^*$