两个密度矩阵之差的痕迹范数是否意味着这两个密度矩阵可以同时对角化？

我相信这个问题的答案是众所周知的。但是，不幸的是，我不知道。

在量子计算中，我们知道混合态由密度矩阵表示。两种密度矩阵之差的痕量范数表征了两种相应混合态的可区分性。此处，迹线范数的定义是密度矩阵的所有特征值的总和，具有一个额外的乘数1/2（根据两个分布的统计差异）。众所周知，当两个密度矩阵之差为1时，则对应的两个混合态是完全可区分的，而当差为零时，这两个混合态将是完全不可区分的。

我的问题是，两个密度矩阵之差的迹线范数是否意味着这两个密度矩阵可以同时对角化？如果是这种情况，则采取最佳度量来区分这两个混合状态将表现为在不相交的支持下区分同一域上的两个分布。

这是证明您感兴趣的事实的一种方法。

假设和ρ 1是密度矩阵。像其他Hermitian矩阵，能够表达差ρ 0 - ρ 1为 ρ 0 - ρ 1 = P 0 - P 1为P 0和P 1是半正定和具有正交图像。（有时这被称为乔丹-哈恩分解;它是独特的，从一个频谱分解容易地获得ρ 0 - ρ 1）。注意这一事实，$\rho_0$$\rho_1$$\rho_0-\rho_1$

$$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$$ $P_0$$P_1$$\rho_0-\rho_1$和 P 1具有正交图像，意味着它们同时对角线化，我认为这是您感兴趣的属性。$P_0$$P_1$

$\rho_0-\rho_1$P0=ρ0P1=ρ

$$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$$ $P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

要得出此结论，请首先注意和，因此。接下来，将和分别作为正交投影到和的图像上。我们有因此两者和TR （P 0）+ TR （P 1）= 2 TR （P 0）= TR （P 1）= 1 Π 0 Π 1 P 0 P 1 Π 0（ρ 0 - ρ 1）= Π 0（$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$$\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$$\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$$\Pi_0$$\Pi_1$$P_0$$P_1$ Tr的（Π 0 ρ 0）- Tr的（Π 0 ρ 1）= 1，Tr的（Π 0 ρ 0）Tr的（Π 0 ρ 1）Tr的（Π 0 ρ 0）= 1 Tr的（Π 0 ρ 1）= 0 Π 0

$$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$$ $$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$$ $\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$必须包含在间隔[0,1]中，由此我们得出和。从这些等式不难得出和，因此可以通过上述等式得出。类似的参数显示。$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$Π 0 ρ 1 = 0 P 0 = ρ 0 P 1 = ρ $\Pi_0\rho_0=\rho_0$$\Pi_0\rho_1=0$$P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

是。如果两个密度矩阵的迹线距离等于1，则它们具有正交支撑，因此它们同时可对角化。