显示具有特定可计算属性的有限图的存在/不存在的结果暗示某些复杂性结果

是否有已知结果表明具有特定可计算属性的有限图的存在（或不存在）暗示某些复杂性结果（例如P = NP）？

这是一个完全假设的结果：如果存在一个具有图元A，B，C和D边缘的有限图，使得所有最大匹配要么包含A，B，C和D的全部，要么不包含A，B，C和D的全部，则P = NP。

Lipton “在证明图没有大的集团：与Ramsey理论的联系上”证明了这种结果。他将下界猜想与纯粹的图论结果联系起来，表明如果$NP$ 不包含在 $coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$，那么 $MAX-CLIQUE$暗示有具有拉姆齐理论特性的图。（有关定义，请参阅本文。）我不知道在证明这种图形是否确实存在方面是否取得了任何进展。

抱歉，我现在才遇到这个已有1年历史的问题...

实际上，有很多结果表明，具有某些属性的显式图暗示布尔函数的下界较强。可以说，仿射或射影维数高的图形表示公式和分支程序的下限较强。还有图的“更简单”的度量，良好的下界将对计算复杂性产生重大影响。让我画一些草图。

以边集的形式查看图形。让$s(G)$ 是最小的数字 $s$ 这样 $G$ 可以写成 $\leq s$ 图，每个图都是 $\leq s$bicliques（二部完整图）。简单计数表明$s(G)\geq n^{1/2}$ 几乎所有二分 $n\times n$图。但是根据Valiant的结果，每个显式二部图$G$ （更确切地说是一系列图形）与 $s(G)\geq n^c$ 保持恒定 $c>0$将解决一个老问题：将提供布尔函数，该函数不能由线性大小的对数深度电路计算。据推测，密集图没有$K_{2,2}$ 有大 $s(G)$。

更好的是，让 $Star(G)$ 是数量最少的$2$ 足以生成的联合和交叉操作 $G$ 从完整的星星开始（该图类型 $K_{1,n}$ 要么 $K_{n,1}$）。计数表明大多数图形具有$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$。但是任何$G$ 与 $Star(G)\geq (4+c)n$ 保持恒定 $c>0$会给出一个显式的布尔函数，需要指数大小的电路！如果图形具有尺寸$m\times n$ 与 $m=o(n)$，那么甚至更低 $Star(G)\geq (2+c)n$会有同样的结果。到目前为止，我们可以展示的最好的是$Star(G)\geq 2n-1$。

让 $Sym(G)$ 是最小的数字 $t$ 有一个子集 $T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$ 和一系列 $t$ 这样的双斜脚 $(u,v)\in G$ 如果包含 $(u,v)$ 属于 $T$。再次，计数给出$Sym(G)\geq n/2$对于大多数图形。但是根据姚，贝格尔和塔瑞的结果，$Sym(G)$ 比大 $2^{poly(\ln\ln n)}$ 会给我们外面的布尔函数 $ACC$。警告：仅“组合复杂”并不意味着很大$Sym(G)$：存在强烈的拉姆西图 $Sym(G)=O(\log n)$， 即使 $T$ =一组奇数整数。

有关如何进行所有操作的更多详细信息，请参见此处。

一个经典的例子是Valiant（我不知道参考文献，但我认为这在Hoory，Linial和Wigderson的书中有关于扩展图的描述）。Valiant显示了一个明确的下限（我认为某个明确的功能$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$ 没有电路 $O(n)$ 大小和 $O(\log n)$深度-在某些类型的图（称为超级集中器）不存在的假设下，我们尚无法证明。（这是一个渐近问题，不只是一张图。）但是他后来证明了这些确实存在（实际上还有其他用途）

如果我们谈论图形族而不是特定图形，答案肯定是“是”。例如，米哈伊尔（Mihail）和瓦齐拉尼（Vazirani）的一个推测是，所有0/1多角形图要么是好边缘图，要么是非常好的边缘扩展图（即，它们的边缘扩展以1 /多项式（度）或1为界。

如果这是真的，那么就存在通过Alon，Jerrum和Sinclair的抽样策略针对许多开放组合和计数问题的有效随机Markov链蒙特卡罗近似算法。

同样，如果存在多面图族，其直径在面数和图度方面的增长速度快于任何多项式，则无法通过边沿跟随算法在强多项式时间内求解线性规划。

扩展Anand Kulkarni的评论：

假设有一个确定的图灵机M，可以在多项式时间内识别SAT。那么M的有限跃迁关系将是一个函数。我们知道可以在多项式时间内识别SAT的TM，但是它们的过渡关系不是函数。请注意，过渡关系是一个有向有向图，它在一个二等分中具有（状态，磁带符号）的元组，在另一个有等分中具有（状态，磁带符号，移动）的元组，并且从成对到三重的弧形。

因此，如果有一个有向图是一个函数，那么琐碎地讲，P = NP。

当然，这不是一个很自然的定义，因为它需要辅助机制来满足以下要求：状态空间中到达接受状态的每个路径的长度都由输入大小中的多项式限制。代表多时间有界图灵机的一组有限图看起来是什么样子，或者这些图是否具有有趣的图论性质，这一点也不明显。