是否有任何函数类别需要可证明的不同资源来进行计算和计算其逆函数？

如果这个问题太简单，请提前道歉。

基本上，我想知道的是是否存在具有以下属性的函数$f(x)$：

采取$f_n(x)$是$f(x)$时域和值域被限制为$n$位字符串。然后

1. $f_n(x)$是单射的
2. $f_n(x)$是射影
3. 在某种合理的模型下计算所需的资源（空间/时间/电路深度/门数）比 f − 1 n（y ）少得多，其中 y = f n（x ）。$f_n(x)$$f^{-1}_n(y)$$y=f_n(x)$
4. 与f − 1（y ）的资源差异随着n的某些严格增加函数而扩展。$f_n(x)$$f^{-1}(y)$$n$

我可以举出一些例子，其中函数要么是射影型的，要么是内射型的，除非我采用人为的计算模型，否则不能同时出现这两种情况。如果我选择一个允许在某个环上单位时间内向左移动但不允许向右移动的计算模型，那么当然可以提出线性开销（如果您将一些更复杂的置换作为基本图元，则可以更高） 。因此，我只对合理的模型感兴趣，我主要指的是图灵机或NAND电路或类似电路。

显然，如果，这必须是正确的，但如果P = N P，这似乎也是可能的，因此不应等于决定这个问题。$P\neq NP$$P=NP$

这个问题很可能是我遗漏的明显答案或明显障碍。

我被要求重新发表我的评论。我通过Hastad指出了这篇论文，该论文表明存在一些难以逆转的排列：$NC^0$

http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(87)90053-6（PS ）

对于完全二进制基础上的布尔电路（其复杂性度量是最小电路中的门数），排列C （f − $C(f)$$\frac{C(f^{-1})}{C(f)} = const$。据我所知，Hiltgen 在这项工作中获得了最佳常数，等于2。

编辑。当您希望比率随着增加而增加时，这不会回答您的问题。但是，对于基于完整二进制的布尔电路，没有什么更好的了。$n$

首先，我想指出的是，如果不首先定义函数的共域，就不能很好地定义整体性。因此，在下面的描述中，我将明确引用函数在其上具有排斥性的共域。

无论是离散对数或RSA函数是被推测为难以倒置排列。下面，我将描述离散对数函数。

令为n位素数，g为乘法群Z ∗ p n的生成器。定义f n：Z p n → Z p n为 f n（x ）= g $p_n$$n$$g$$\mathbb{Z}_{p_n}^*$$f_n \colon \mathbb{Z}_{p_n} \to \mathbb{Z}_{p_n}$。$f_n(x) = g^x \pmod{p_n}$

然后，是一个函数，其性质如您的问题所述：它是单射性和射影性的（在共域Z p n上），可以在多项式时间内计算，但是推测没有有效的算法可以将f n求逆。平均。$f_n$$\mathbb{Z}_{p_n}$$f_n$