证明系统背后的直觉

我正在尝试了解有关PTIME的p-最优证明系统和逻辑的文章。本文中有一个称为证明系统的概念，但我没有得到直觉：

$\Sigma = \{0,1\}$ ...我们认同的子集的问题在。$Q$$\Sigma^*$

我认为直觉是我们用（例如无向图）编码某种结构，而这些结构的子集就是问题（例如平面图）。$\Sigma^*$

问题的证明系统是一个在多项式时间内计算的的射影函数。$Q \subset \Sigma^*$$P:\Sigma^* \to Q$

现在可以说是特定结构中所有可能模型的集合（例如，所有无向图）。但这没有意义，因为为什么将无向图映射到子集上？它可以被编码为图灵机，但这也没有意义...$\Sigma^*$

有任何想法吗？

将编码为某种对象，将视为满足某种属性的所有对象的集合。将视为一个接受（编码）对其中是一个对象，而被称为中 “证据” 。函数是一个“证明检查器”：它验证实际上代表有效证据。如果是这样，则返回，否则返回的默认元素。$\Sigma^{*}$$Q$$P$$(x, p)$$x$$p$$x \in Q$$P$$p$$x \in Q$$x$$Q$

例如，假设图进行编码，并让为哈密顿图的（编码集）。可能的是这样的：将输入解码为，其中是图，是的顶点列表；验证是的哈密顿循环；如果是这样，则返回否则返回一个点的图形。$\Sigma^{*}$$Q$$P$$(G, \ell)$$G$$\ell$$G$$\ell$$G$$G$

您考虑了平面图的情况。为了获得合适的我们需要一个可以多次检查平面度的证据。$P$

通常，的输入不需要对进行编码。重要的是，可以从其输入中提取两条信息：所讨论的对象和该对象属于的所谓证据。例如，让我们将在一阶理论中可证明的所有句子的集合作为现在，其输入解码为形式证明。如果编码无效，则返回。如果编码表示有效的证明，则它将返回由证明证明的语句（很可能是证明树的根，或者是语句序列中的最后一个公式，这取决于您对证明的形式化方式）。$P$$(x, p)$$P$$Q$$Q$$P$$\top$

您应该将证明系统的输入视为元素中的证明的文本。如果文本有效，则，否则是固定的。我们希望为多重时间，因为这意味着证明易于验证。$P$$\pi$$q \in Q$$P(\pi) = q$$P(\pi)$$q_0 \in Q$$P$

例如，假设是命题重言式的集合，而是任何希尔伯特风格的证明系统，它由一组线组成，每条线要么是一个公理，要么通过推导规则（通常是Modus）从前几行得出Ponens）。如果证明有效，则应输出证明中的最后一行。否则，输出一些固定的重言式，例如。$Q$$P$$P$$p \lor \lnot p$

回到第一个问题，是满足某种属性的某种类型的所有结构的编码。重言式就是一个例子。另一个例子是所有非3色图的集合，它们具有一个称为Hajós微积分的证明系统。$Q$