了解最小不动点逻辑

为了更好地理解论文，我试图简要了解最小定点逻辑。有一些地方让我陷入困境。

如果 $G = (V,E)$ 是图

是二元关系的运算符 $P$。我不明白为什么最不固定的点$P^*$ 的 $P$ 是...的传递闭包 $E$。该示例摘自有限模型理论及其应用（第60页）。

用最少固定的指针运算符扩展一阶逻辑时，我不明白为什么关系符号 $S_i$在公式中需要为正。正意味着每次发生$S_i$ 公式中的否定符号数为偶数。

有谁知道对最小固定指针逻辑及其语法和语义有直观的了解，有什么好读的？

如果您对最小不动点的概念感到困惑，我建议您花一些时间来了解更一般的定序理论。

戴维（Davey）和普里斯特利（Priestley），《格子和秩序简介》是一个很好的介绍。

要了解为什么传递闭包不是最不固定的点，可以想象从一个空集构建闭包，一次应用逻辑公式。当您无法使用公式添加任何新边时，最小固定点到达。

公式为正的要求可确保该过程是单调的，即它在每个步骤中都在增长。如果子方程式为负，则可能会导致某些步骤的边集减少，并且这可能导致上下波动不停，而不是收敛到LFP。

考虑由有限集的幂集形成的布尔代数 $S$，按集合包含顺序排序。现在，考虑操作员$P$ 被定义为

明显地 $P$ 是一个非正运算符。

1. 证明没有固定点 $\mu P$ 这样 $P(\mu P) = \mu P$。结果，您可以得出结论：$\mu X.\;P(X)$ 不能很好地定义。

2. 亲自证明Knaster-Tarksi定理。也就是说，如果您有完整的晶格$L$，以及单调功能 $f : L \to L$，则定点集 $f$形成一个完整的格子。（作为结果，$f$ 有一个最小和最大的固定点。）这个证明很短，但是第一次看到它有点让人头疼，而且单调性 $f$ 对这一论点至关重要。

3. 亲自证明由带自由变量的表达式定义的任何运算符 $X$仅正面出现的是单调的。因此，积极发生是足以增强单调性的句法条件。

我发现没有什么可以为自己做这些证明而真正地使直觉内化的。

这是一篇非常古老的文章，因此您可能已经按照需要遇到了答案。自从我过去几个月研究FO（LFP）以来。我对您需要的答案有所了解。

为了满足积极性的要求，需要从以下事实出发：测试公式是否捕获单调运算符在有限模型和无限模型中都是不确定的。捕获单调运算符的公式是什么意思？假设您写出一个FO$[\sigma$带有自由二阶变量的公式说 $\phi(\vec{x},X)$，在哪里 $|\vec{x}|=ar(X)$，那么我们可以定义一个对应的运算符 $f_\phi$ ： $\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$ 其中ar（X）是二阶变量的对数，A是该域的域 $\sigma$-结构体 $\mathbb{A}$ 和 $\mathcal{P}(Z)$ 是集合Z的幂集。 $f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$。如果该算子是单调的，那么我们可以按照上述答案中提到的knaster tarski的不动点定理轻松地捕获有限和无限结构中的不动点。但是，问题是要测试由上述形式写出的公式是否编码单调运算符是不确定的，因此我们需要获得下一个最佳选择。二阶自由变量中的正性确保满足单调性要求，其标准结构归纳证明了这一现象。问题是，够了吗？

对此，由于我仍在阅读，所以我还没有确切的答案。我可以指出这方面的论文。至少我在这里提到的一个解释性想法来自论文《单调与正面》，古列维奇。它还进一步提到了Gurevich和Shelah撰写的另一篇论文《一阶逻辑的不动点扩展》，其中指出，与对任意单调公式进行的应用相比，将不动点算子应用于正公式时不会失去表达能力。