NP完全问题的难解性是物理学原理吗？

我总是对缺乏针对P vs NP问题的实验数学的数字证据感到好奇。尽管黎曼假设从数值验证中获得了一些支持证据，但我不知道有关P vs NP问题的类似证据。

另外，我不知道存在无法确定的问题（或存在无法计算的功能）对物理世界的直接后果。蛋白质折叠是NP完全问题，但似乎在生物系统中非常有效地发生。斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）提出使用NP硬度假设作为物理原理。他非正式地将该假设陈述为“ NP完全问题在物理世界中是棘手的 ”。

假设NP硬度假设，为什么很难设计一个科学实验来决定我们的宇宙是否尊重NP硬度假设？

另外，是否有来自实验数学的已知数值证据支持或反对？$P\ne NP$

编辑：这是斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）的精彩演讲，题为“ 计算难易度为物理定律”

我不认为是一种渐近陈述是自动的“ dealbreaker”。可以做出与我们的知识一致但比P vs NP更强的具体猜想，例如“ 找到至少n 个 10SAT随机公式的令人满意的分配至少需要2 n / 10个步骤”（例如，“ random” （Achlioptas Coja-Oghlan）的植入模型，这只是一个例子-我不知道什么是合理的具体具体数字。$P\neq NP$$2^{n/10}$

这种推测可以得出可辩驳的预测，即任何试图解决该问题的自然系统都会失败（例如，陷入局部极小值），您可以通过实验来验证这一点。的确，我不是专家，但是据乔·菲茨西蒙斯（Joe Fitzsimons）所述，据我所知，绝热计算已证实了这种预测。（斯科特·亚伦森也做了一些有趣的肥皂泡实验。）

当然，您也可以看到一些“经验证据”， 因为人们一直在尝试解决优化问题，对密码进行加密分析等，但是到目前为止还没有成功。$P \neq NP$

现实世界是一个常数大小的对象，因此无法排除多项式实时世界过程来解决NP完全问题，因为NP完全问题隐藏在大O表示法中。

无论如何，除了这一点之外，假设是一种形式的陈述，即“没有现实世界的过程可以做……”，一个人如何设计一个实验来驳斥这种陈述？如果假设类似于“如果我们在现实世界中执行X，则发生Y”，则可以通过执行X来反驳。我们想要的陈述断言某物不存在，所以我看不到实验决定。可以将其显示为物理定律的物理结果，但这比P对NP还要难，因为图灵机确实遵循物理定律。由于即使在证明TM不能在多项式时间内解决NP完全问题上也没有成功，所以似乎没有希望证明没有物理过程可以在多项式时间内解决NP完全问题。

的确，P的物理形式不等于NP，即没有自然的物理系统能够解决NP完全问题是非常有趣的。有一些担忧

1）对于实验和理论物理学而言，该程序似乎实际上是“正交的”。因此，到目前为止，它并没有真正提供有用的物理学见解。

有一些很好的论据可以从这个猜想的物理版本中得出一些物理学上的见解，但是这些论点相当“软”并且有漏洞。（这样的论点可能是有问题的，因为它们依赖于非常困难的数学猜想，例如NP不等于P，并且NP没有包含在我们不了解的BQP中。）

（类似的评论适用于“教会图论”。）

2）尽管物理NP不等于P比数学NP不等于P更宽泛的猜想，但我们也可以将其视为更严格的限制，因为自然界中出现的算法（甚至是人造算法）似乎非常所有理论上可能的算法的受限类。正式地理解这种限制将是非常有趣的，但是在任何情况下，问题中提出的任何实验性“证明”都将仅适用于这些限制类。

3）在科学建模中，计算复杂性代表了一种二阶问题，首先我们要对自然现象进行建模，然后查看可以基于该模型进行预测的内容（不考虑计算复杂性理论）。在建模阶段过分重视计算复杂性问题似乎并不富有成果。在许多情况下，该模型从一开始就在计算上难以处理，但是对于自然发生的问题还是可行的，或者对于理解现象很有用。

4）我同意波阿斯的观点，即渐进式问题不一定是“破坏者”。关于计算复杂性问题与现实生活建模的相关性，这仍然是一个相当严重的问题。

如果您可以允许我概括一下……让我们扩展问题，并提出其他复杂性-理论硬度假设及其对科学实验的影响。（我将专注于物理学。）最近，一个相当成功的程序试图理解两个测量设备之间的允许相关性集合，这些设备在空间上分开时，在（可能是非局部相关的）物理系统上执行测量（ 1）。在这种和类似的设置下，可以使用关于通信复杂性的假设。来得出严格的界限，该界限再现了量子力学的允许相关性。

为了给您一个味道，让我描述一下这方面的较早结果。甲波佩斯库-Rohrlich盒（或PR盒）是其再现与本原理一致的，没有信息可行驶的速度比光测量装置之间的相关性的假想设备（称为原理的信令）。

S. Popescu和D.Rohrlich，《量子非局部性作为公理》，发现。物理 24，379–385（1994）。

我们可以将其视为通信复杂性有一定影响的实例。两个观察者必须隐式通信的想法假定了某种约束，物理学家不会要求任何信号。扭转这种想法，在没有信令约束的情况下，两个测量设备之间可能存在哪些类型的相关性？这就是Popescu＆Rohrlich的研究。他们表明，这组可允许的相关性严格大于量子力学所允许的相关性，而后者又比经典物理学所允许的严格更大。

然后问题问自己，是什么使量子相关性集合成为“正确的”相关性集合，而不是没有信号传递所允许的那些呢？

为了解决这个问题，我们简单地假设存在通讯复杂性不高的功能。这里非平凡只是意味着共同计算一个布尔函数f（x，y）的，它需要更多的不仅仅是一个单个位（2）。令人惊讶的是，即使这个非常弱的复杂性理论假设也足以限制可允许相关的空间。

G. Brassard，H. Buhrman，N. Linden，AAMéthot，A. Tapp和F. Unger，在任何沟通复杂性都不低的世界中对非本地性的限制，物理。牧师 96，250401（2006）。

请注意，在博士中已经证明了较弱的结果。Wim van Dam的论文。什么布拉萨德等。事实证明，使用PR盒，即使是有故障的盒，有时只产生正确的关联，也可以使通信复杂度完全降低。在这个世界上，每个二变量布尔函数可以通过仅传输一个位来联合计算。这看起来很荒谬，所以让我们反过来看看。我们可以将通信复杂性的非平凡性作为一个公理，这使我们能够得出这样的事实，即我们在实验中未观察到某些强于量子的相关性。

这种使用通信复杂性的程序取得了令人惊讶的成功，可能比相应的计算复杂性要大得多。上面的论文实际上只是冰山一角。这篇评论是开始进一步阅读的好地方：

H. Buhrman，R。Cleve，S。Massar和R. de Wolf，“非本地性和通信复杂性”，修订版。物理 82，665–698（2010）。

或从我引用的其他两篇论文中进行前瞻性文献检索。

这也引起了一个有趣的问题，即为什么通讯设置似乎比计算设置更易于分析。也许这可能是有关cstheory的另一个已发布问题的主题。

（1）例如，以测量称为CHSH不等式（贝尔不等式的一种）的实验为例，其中物理系统由两个纠缠的光子组成，测量是在两个空间遥远位置对单个光子的偏振测量。

（2）每当f（x，y）实际取决于x和y时，都需要此单个位，因为发送零位不会违反任何信令。

另外，是否有来自实验数学的已知数值证据支持或反对 $P \neq NP$？

据我所知。但是，人们可能会得到反对的数字证据。$NP \subseteq P/poly$通过使用显式计算表明，长度为10的SAT没有大小为20的电路（可以让10和20的值变化），可以对黎曼假设或哥德巴赫猜想找到类似的结论。这仍然会遇到其他答案中提出的相同问题-有限的证据不能给我们一个渐近答案。但是，对于黎曼假说的当前“证据”，基本上是相同的问题。

现在，为长度不超过10的SAT找到最小电路是非常困难的。但是，几何复杂度理论中的某些思想使您可以通过更高效的计算搜索（我认为仅指数形式，而不是双指数形式）获得相似的结果。Mulmuley的一个猜想是，实际上这种搜索可以在多项式时间内完成，但距离证明这一点还有很长的路要走。

“多项式时间”和“指数时间”的定义描述了随着输入大小增长到无穷大而导致的运行时间的限制行为。另一方面，任何物理实验都必须仅考虑有限大小的输入。因此，绝对没有办法通过实验确定给定算法是在多项式时间，指数时间还是其他时间内运行。

换句话说：罗宾说了什么。

首先，我要说我完全同意罗宾。关于蛋白质折叠，存在一个小问题。与所有此类系统一样，蛋白质折叠可能会卡在局部极小值中，这似乎是您所忽略的。更普遍的问题是简单地找到一些哈密顿量的基态。实际上，即使我们仅考虑旋转（即量子位），对于QMA来说，此问题也是完整的。

但是，自然哈密顿量要比用来证明QMA完整性的一些人工哈密顿量（这并不反映自然相互作用）要软一些，但是即使当我们在简单系统上限制自然两体相互作用时，结果仍然是NP -完整的问题。实际上，这构成了尝试使用绝热量子计算解决NP问题的方法的基础。不幸的是，由于与能级结构有关的技术问题，这种方法似乎不适用于NP完全问题。但是，这确实导致了NP内部存在的问题的有趣结果，这些问题无法自然地有效解决（我指的是物理过程）。这意味着存在无法有效冷却的系统。也就是说，

由于连续离散的“跳跃”，从计算的角度研究现实情况非常困难。尽管现实世界中的所有事件（假定）都是连续运行的，但我们通常使用的模型是在离散时间内实现的。因此，定义一个步骤应该多小或多大，问题的大小应该如何等等是非常棘手的。

我已经在亚伦森的论文中写了关于该主题的摘要，但是它不是英语。请参阅原始文件。

就个人而言，我听说过另一个建模为计算的现实世界问题的示例。这篇论文是关于基于鸟群的控制系统模型的。事实证明，尽管鸟在现实生活中花费的时间很短，但是当作为计算问题进行分析时，它是棘手的（“ 2s塔”）。有关详细信息，请参见Bernard Chazelle的论文。

[编辑：澄清了有关Chazelle纸的部分。感谢您提供准确的信息。]

我仍然赞成n体问题作为NP难治性的一个例子。引用数字解决方案的先生们忘记了数字解决方案是递归模型，而不是与解析解决方案相同的原则上的解决方案。Qui Dong Wang的分析解决方案很棘手。可以折叠的蛋白质和可以在两个以上物体系统中运行的行星是物理系统，而不是P-NP问题解决的那种算法解决方案。

我还必须感谢chazisop在连续时间内提供解决方案所遇到的困难。如果时间或空间是连续的，则潜在的状态空间将变为不可数（即一个）。

我们无法有效解决 $n$体问题，但是那些“以岩石换脑子”的行星似乎管理得很好。