分割军政府的鲁棒性

我们说，一个布尔函数$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$是$k$ -junta如果$f$最多有$k$干扰因素。

让$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$是一个$2k$ -junta。用x 1，x 2，… ，x n表示f的变量。修正 S 1 = { x 1，x 2，… ，x $f$$x_1, x_2, \ldots, x_n$

$$S_1 = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\frac{n}{2}} \right\},\quad S_2 = \left\{ x_{\frac{n}{2} + 1}, x_{\frac{n}{2} + 2}, \ldots, x_n \right\}.$$ 显然，存在$S \in \{S_1, S_2\}$，使得$S$含有至少$k$的作用变量的$f$。

现在让$\epsilon > 0$，并假定$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$是$\epsilon$ -far从每$2k$ -junta（即，一个具有改变至少的一小部分$\epsilon$的值的$f$使其成为$2k$ -junta）。我们可以对上述陈述做一个“健壮”的版本吗？即是，是否有一个普遍的恒定$c$，和一组$S \in \{S_1, S_2\}$使得$f$是$\frac{\epsilon}{c}$远离S中最多包含$k$影响变量的每个函数。$S$

注意：在问题的原始表述中，$c$固定为$2$。尼尔（Neal）的例子表明，这样的c值是$c$不够的。但是，由于在属性测试中我们通常不太关心常量，因此我稍微放松了条件。

答案是“是”。证明是矛盾的。

为了符号上的方便，让我们用x表示第一个n / 2变量，第二个n $n/2$$x$ 2由变量 ÿ。假设 ˚F （X ，ÿ ）是 δ -close到功能 ˚F 1（X ，ÿ ）其中仅在取决于$n/2$$y$$f(x,y)$$\delta$$f_1(x,y)$ x的k坐标的。用 T 1表示其影响坐标。同样，假设 f （x ，y ）为$k$$x$$T_1$$f(x,y)$δ-接近函数 f 2（x ，y ），后者仅取决于 y的k个坐标-接近 2 ķ -junta〜˚F（X ，ÿ ）。$\delta$$f_2(x,y)$$k$$y$。用T 2表示其影响坐标。我们需要证明˚F是4 $T_2$$f$$4\delta$$2k$$\tilde f(x,y)$

假设（x 1，y 1）〜（x 2，y 2）如果x 1和$(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2)$$x_1$ x 2在 T 1的所有坐标上一致，而 y 1和 y 2在 T 2的所有坐标上一致。我们从每个等效类中随机选择一个代表。让（ˉ X，ˉ ÿ）是用于类的代表（X $x_2$$T_1$$y_1$$y_2$$T_2$$(\bar x, \bar y)$y ）。限定〜˚F如下： 〜˚F（X ，ÿ ）= ˚F （ˉ X，ˉ ÿ）$(x,y)$$\tilde f$

$$\tilde f(x,y) = f(\bar x, \bar y).$$

很明显，〜˚F是2 $\tilde f$$2k$ -junta（它仅在变量取决于在Ť 1 ∪ Ť 2）。我们将证明它是在距离4 δ从˚F于预期。$T_1 \cup T_2)$$4\delta$$f$

我们要证明的是 镨〜˚F（镨X ，Y ^（〜˚F（X ，Y ^ ）≠ ˚F （X ，Y ^ ）））= 镨（˚F （ˉ X，ˉ ÿ）≠ ˚F （X ，Y ^ ））≤ 4 δ ， 其中X和ÿ是随机统一选择。考虑随机向量

$$\Pr_{\tilde f}(\Pr_{x,y}(\tilde f(x,y) \neq f(x,y))) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta,$$ $x$$y$〜X从得到的X通过保持所有位在Ť1和随机翻转所有位不Ť1，和一个矢量〜ý类似地定义。注意， 镨（〜˚F（X，ÿ）≠˚F（X，ÿ））=镨（˚F（ ˉ X， ˉ ÿ）≠˚F（X，ÿ））=$\tilde x$$x$$T_1$$T_1$$\tilde y$ $$\Pr(\tilde f(x,y) \neq f(x,y)) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y))= \Pr(f(\tilde x, \tilde y) \neq f(x,y)).$$

我们有，

$$\Pr(f(x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \Pr(f(x,y) \neq f_1(x, y)) + \Pr(f_1(x,y) \neq f_1(\tilde x, y)) + \Pr(f_1(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \delta + 0 + \delta = 2\delta.$$

同样，镨（˚F （〜X，ÿ ）≠ ˚F （〜X，〜ÿ））≤ 2 δ。我们有 镨（˚F （ˉ X，ˉ ÿ）≠ ˚F （X ，Y ^ ））≤ 4 δ 。 QED$\Pr(f(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, \tilde y)) \leq 2\delta$

$$\Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta.$$

容易将这个证明“去随机化”。对于每一个（X ，ÿ ），让〜˚F（X ，ÿ ）= 1如果˚F （X ，ÿ ）= 1对于最$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 1$$f(x,y) = 1$（X '，ÿ '）在等价类（X ，ÿ ），和〜˚F（x ，y ）= 0，否则。$(x',y')$$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 0$

最小的 界限所保持 c为 c = $c$√2 - 1 ≈2.41。$c = \frac{1}{\sqrt 2 - 1} \approx 2.41$

引理1和2表明，该c的界成立。引理3表明这个界限是紧密的。$c$

（相比之下，Juri的优雅概率论得出c = 4。）$c=4$

令$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$。引理1给出k = 0的上限。$k=0$

引理1： 如果f是ϵ g-在S 2中没有影响变量的函数g附近，而f是ϵ h-在S 1中没有影响变量的函数$f$$\epsilon_g$$g$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$S_1$，则f是ϵ-在常数函数附近。 ，其中ε ≤ （ε 克 + $f$$\epsilon$ ħ）/ 2c。$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

证明。 令ϵ为从f到常数函数的距离。矛盾的是，ϵ不满足要求的不等式。令y = （x 1，x 2，… ，x n / 2）和z = （x n /$\epsilon$$f$$\epsilon$$y=(x_1,x_2,\ldots,x_{n/2})$ + 1 ，… ，x n） 并将 f， g和 h记为 f （$z=(x_{n/2}+1,\ldots,x_n)$$f$$g$$h$，z ）， g）独立于 y。$f(y,z)$（y ，z ）和 h （y ，z ），因此 g （y ，z ）独立于 z和 h （y ，$g(y,z)$$h(y,z)$$g(y,z)$$z$$h(y,z)$$y$

（我发现将f可视化为带有顶点集{ y }的完整二部图的边缘标签和$f$$\{y\}$ { z }，其中 g给出了 { y }和 h的顶点标签$\{z\}$$g$$\{y\}$$h$给出的顶点标记{ z }。）$\{z\}$

令g 0为（y ，z ）对的分数，使得g （y ，z ）= 0。令g 1 = 1 - g 0是对的分数，使得g （y ，z ）$g_0$$(y,z)$$g(y,z) = 0$$g_1=1-g_0$ 1。同样，令 h 0为对的分数，使得 h （y ，z ）= 0，令 h $g(y,z) = 1$$h_0$$h(y,z) = 0$$h_1$为对的分数，使h（y ， z ）= 1。$h(y,z) = 1$

在不失一般性的前提下，假定对于g （y ，z ）= h （y ，z ）的任何对，它还认为f （y ，z ）= g （y ，z ）= h （y ，z））。（否则，切换 f （y ，z ）的值可使我们将ϵ g和ϵ h都减少$g(y,z) = h(y,z)$$f(y,z) = g(y,z) = h(y,z)$$f(y,z)$$\epsilon_g$$\epsilon_h$$1/2^n$，同时减小ε由至多1 / 2 Ñ，因此所得到的功能仍然是一个反例。）说任何这样的一对是``在协议“”。$\epsilon$$1/2^n$

从f到g的距离加上从f到h的距离 是（x ，y ）对不一致的分数。即，ϵ g + ϵ h = g 0 h 1 + g 1 h 0。$f$$g$$f$$h$$(x,y)$$\epsilon_g + \epsilon_h = g_0 h_1 + g_1 h_0$

从f到全零函数的距离最大为1 − g $f$ h 0。$1 - g_0 h_0$

从f到all-ones函数的距离最大为1 − g $f$ ħ 1。$1-g_1 h_1$

此外，从距离˚F到最近的常数函数为至多1 / 2。$f$$1/2$

因此，该比率ε /（ε 克 + ε ħ）为至多 分钟（1 / 2 ，1 - 克0 ħ 0，1 - 克1 ħ 1$\epsilon/(\epsilon_g+\epsilon_h)$克0 ħ 1个 + 克1 ħ 0， 其中克0，ħ0∈[0，1]和克1=1-克0和ħ1=1-H ^0。

$$\frac{\min(1/2, 1-g_0 h_0, 1-g_1 h_1)}{g_0 h_1 + g_1 h_0},$$ $g_0,h_0 \in [0,1]$$g_1 = 1-g_0$$h_1=1-h_0$

经计算，该比率最多为 12 （√2 -1）=c ^/2。QED$\frac{1}{2(\sqrt 2 - 1)} = c/2$

Lemma 2 extends Lemma 1 to general $k$ by arguing pointwise, over every possible setting of the $2k$ influencing variables. Recall that $c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$.

Lemma 2: Fix any $k$. If $f$ is $\epsilon_g$-near a function $g$ that has $k$ influencing variables in $S_2$, and $f$ is $\epsilon_h$-near a function $h$ that has $k$ influencing variables in $S_1$, then $f$ is $\epsilon$-near a function $\hat f$ that has at most $2k$ influencing variables, where $\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$.

Proof. Express $f$ as $f(a,y,b,z)$ where $(a,y)$ contains the variables in $S_1$ with $a$ containing those that influence $h$, while $(b,z)$ contains the variables in $S_2$ with $b$ containing those influencing $g$. So $g(a,y,b,z)$ is independent of $z$, and $h(a,y,b,z)$ is independent of $y$.

For each fixed value of $a$ and $b$, define $F_{ab}(y,z) = f(a,y,b,z)$, and define $G_{ab}$ and $H_{ab}$ similarly from $g$ and $h$ respectively. Let $\epsilon^g_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $G_{ab}$ (restricted to $(y,z)$ pairs). Likewise let $\epsilon^h_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $H_{ab}$.

By Lemma 1, there exists a constant $c_{ab}$ such that the distance (call it $\epsilon_{ab}$) from $F_{ab}$ to the constant function $c_{ab}$ is at most $(\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$. Define $\hat f(a,y,b,z) = c_{ab}$.

Clearly $\hat f$ depends only on $a$ and $b$ (and thus at most $k$ variables).

Let $\epsilon_{\hat f}$ be the average, over the $(a,b)$ pairs, of the $\epsilon_{ab}$'s, so that the distance from $f$ to $\hat f$ is $\epsilon_{\hat f}$.

Likewise, the distances from $f$ to $g$ and from $f$ to $h$ (that is, $\epsilon_g$ and $\epsilon_h)$ are the averages, over the $(a,b)$ pairs, of, respectively, $\epsilon^g_{ab}$ and $\epsilon^h_{ab}$.

Since $\epsilon_{ab} \le (\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$ for all $a, b$, it follows that $\epsilon_{\hat f} \le (\epsilon_g + \epsilon_h)/(2c)$. QED

Lemma 3 shows that the constant $c$ above is the best you can hope for (even for $k=0$ and $\epsilon=0.5$).

Lemma 3: There exists $f$ such that $f$ is $(0.5/c)$-near two functions $g$ and $h$, where $g$ has no influencing variables in $S_2$ and $h$ has no influencing variables in $S_1$, and $f$ is $0.5$-far from every constant function.

Proof. Let $y$ and $z$ be $x$ restricted to, respectively, $S_1$ and $S_2$. That is, $y=(x_1,\ldots,x_{n/2})$ and $z=(x_{n/2+1},\ldots,x_n)$.

Identify each possible $y$ with a unique element of $[N]$, where $N=2^{n/2}$. Likewise, identify each possible $z$ with a unique element of $[N]$. Thus, we think of $f$ as a function from $[N]\times[N]$ to $\{0,1\}$.

Define $f(y,z)$ to be 1 iff $\max(y,z) \ge \frac{1}{\sqrt 2}N$.

By calculation, the fraction of $f$'s values that are zero is $(\frac{1}{\sqrt 2})^2 = \frac{1}{2}$, so both constant functions have distance $\frac{1}{2}$ to $f$.

Define $g(y,z)$ to be 1 iff $y\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. Then $g$ has no influencing variables in $S_2$. The distance from $f$ to $g$ is the fraction of pairs $(y,z)$ such that $y<\frac{1}{\sqrt 2}N$ and $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. By calculation, this is at most $\frac{1}{\sqrt 2}(1-\frac{1}{\sqrt2}) = 0.5/c$

Similarly, the distance from $f$ to $h$, where $h(y,z)=1$ iff $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$, is at most $0.5/c$.

QED