我们可以接近线性乘法，加法和比较（整数）吗？

根据KW Regan的文章“ Connect the Stars”，他最后提到，找到整数表示以使得加，乘和比较运算可在线性时间内计算仍然是一个开放的问题：

是否存在整数表示形式，以便加法，乘法和比较都可以在线性时间内完成？基本上，是否存在线性时间离散排序的环？

（1）在没有比较的情况下，我们可以接近线性时间乘法和加法吗？在这里，我假设问题的大小可能会有所不同，因此我们可能需要一个允许更改整数大小的数据结构/算法。

（2）对于完整的问题，我们可以假定我们将找到一个最佳方案，用于对整数进行乘法，加法和比较。我们可以将这三个操作中最慢的（最坏的情况）接近线性时间多近？并注意，其他操作的速度有多快？

正式问题陈述

正如EmilJeřábek所提到的，我们想排除一些琐碎的案例，并专注于最坏案例的行为。

因此，我们要求，对于非负整数和其中和，我们可以找到一个数据结构/算法可以执行加法，乘法，以及与\之间比较和在时间和空间中？ $\forall x$ $\forall y$ $0 \le x < n$ $0 \le y < n$ $x$ $y$ $O(n \log{(n)})$ $O(\log^2{(n)})$

ds.algorithms ds.data-structures worst-case

— 马特·格罗夫（Matt Groff）
source

我将提到，可以创建一个在时间

上对非负整数执行这些操作的方案，其中

是最大整数的位大小（假设我们提前知道

）。我想知道我们是否可以做得更好，并且与正在计算的当前整数成比例地及时进行。

Θ (n)

$\Theta(n)$

n

$n$

n

$n$

— 马特·格罗夫

@TysonWilliams：是的！二进制！

— 杰夫·2012年

并非获得所有这些操作的线性时间，而是显示整数，以便所有这些操作的时间均为

？

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— EmilJeřábek在2012年

实际上，有一个简单的肯定答案：用

个填充位表示二进制整数。陈述是否不应该包含某种条件，以使表示形式的长度与二进制表示形式的长度成线性关系？

n^{2}

$n^2$

— EmilJeřábek在2012年

@EmilJeřábek：我假设他希望任何整数

的表示都使用

位，对于某些函数

。

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) = Θ (\log n)

$f(n)=\Theta(\log n)$

— 杰夫·杰夫·2012年

可能不是最佳答案，但这也许是一个有用的起点。如果我们希望表示一个非负整数，则可以将其存储为以2为模的连续质数模的残基集。这种形式的比较可能很困难，但是乘法和加法可以很快完成。前素数的乘积近似为因此，要表示整数您需要对前素数取模的残基，其中 $n$

p_{n} # = \exp ((1 + o (1)) n \log n) .

$p_n\# =\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n).$

N

$N$

n

$n$

。由于我们可以使用对前

素数残基求模的残基表示任何

，因此我们可以取

。加法和乘法可以直接在残基对之间进行。这样的对有

对，最大素数约为

。因此，应该在

N < \exp ((1 + o (1)) n \log n)

$N<\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n)$

N < p_{n} #

$N<p_n\#$

n

$n$

n \log n \propto \log (N)

$n \log n \propto \log(N)$

n

$n$

n \log (n)

$n\log(n)$

，而通过Schonhage-Strassen进行的乘法应在

。由于

，然后粗略近似给出

在

O (n \log \log (N))

$O(n\log\log(N))$

O (n \log \log (N) \log \log \log \log (N) \log \log \log (N))

$O(n\log\log(N)\log\log\log\log(N)\log\log\log(N))$

n \log n \propto \log N

$n \log n \propto \log N$

n

$n$

O (\log N / \log \log N)

$O(\log N/\log\log N)$ 。这将使加法和乘法的复杂度分别为

和

。

O (\log N)

$O(\log N)$

O (\log N \log \log \log N \log \log \log \log N)

$O(\log N \log\log\log N \log\log\log\log N)$

— 乔·菲茨西蒙斯
source

另请参见中国余数定理

— vzn2012年

@vzn：是的，我想提一下进行比较，但是后来我想到通过混合基数表示法可能会有更快的比较操作。

— Joe Fitzsimons，2012年