确定性困难的高效简单随机算法

33

我经常听到，对于许多问题，我们知道非常优雅的随机算法，但没有，或者只有更复杂的确定性解决方案。但是，我只知道几个例子。最突出

随机快速排序（以及相关的几何算法，例如用于凸包）
随机Mincut
多项式身份测试
克莱的度量问题

其中，如果不使用随机性，则仅多项式恒等性检验似乎非常困难。

您是否知道更多示例问题，其中随机解决方案非常优雅或非常有效，而确定性解决方案却并非如此？理想情况下，外行应容易激发问题（与多项式身份测试不同）。

ds.algorithms randomized-algorithms derandomization

— 阿德里安
source

10

另一个例子是素数测试。Miller-Rabin和Solovay-Strassen概率素数检验非常简单有效。寻找有效的确定性素数检验是一个长期存在的难题，该检验已由Agrawal，Kayal和Saxena解决。AKS检验是确定性多项式检验素数检验。但是，它不像概率测试那样简单且效率不高。

— 尤里2012年

8

随机选择（中位数发现）比确定性要容易一些。近似求解打包和覆盖LP的随机算法（在最坏的情况下）比确定性的算法（KY07，GK95）更快。许多在线问题已将算法随机化，比任何确定性算法FK91更具竞争性。

— Neal Young

11

计算高维凸体的体积可以通过随机化实现逼近。众所周知，没有确定性算法可以给出良好的近似。因此，随机化在这里至关重要。

(1 + ϵ)

$(1+\epsilon)$

— Chandra Chekuri 2012年

5

@ChandraChekuri这是一个很好的评论，它将是一个更好的答案:)

— Suresh Venkat 2012年

3

@ChandraChekuri在Oracle模型中，否则

B P P \neq P

$\mathsf{BPP} \neq \mathsf{P}$

— Sasho Nikolov

36

螺母和螺栓分类

Rawlins在1992年提出了以下问题：假设您得到了n个螺母和n个螺栓的集合。每个螺栓恰好适合一个螺母，否则，螺母和螺栓具有不同的尺寸。尺寸太小，无法直接比较成对的螺栓或螺母。但是，您可以尝试将它们拧在一起，从而将任何螺母与任何螺栓进行比较。在恒定时间内，您会发现螺栓太大，太小还是恰好适合螺母。您的任务是发现适合每个螺母的螺栓，或者等效地按大小对螺母和螺栓进行分类。

随机快速排序的一个简单变体以高概率解决了时间的问题。随机选择一个螺栓；用它来分割坚果；使用配套螺母对螺栓进行分隔；然后递归。但是，找到一个甚至可以在运行的确定性算法并非易事。确定性时间算法最终由Bradford于1995年发现，由Komlós，Ma和Szemerédi独立发现。在后台，两种算法都使用AKS并行排序网络的变体，因此 $O(n \log n)$ $o(n^2)$ $O(n\log n)$ 时限很大；随机算法的隐藏常数为4。 $O(n\log n)$

Noga Alon，Manuel Blum，Amos Fiat，Sampath Kannan，Moni Noar和Rafail Ostrovsky。配套螺母和螺栓。程序五周年 ACM-SIAM症状。离散算法，690–696，1994年。
Noga Alon，Phillip G.Bradford和Rudolf Fleischer。螺母和螺栓的匹配速度更快。通知。程序来吧 59（3）：123–127，1996年。
菲利普·G·布拉德福德。最佳地匹配螺母和螺栓。科技众议员MPI-I-95-1-025，马克斯-普朗克研究所献给Informatik公司，1995年http://domino.mpi-inf.mpg.de/internet/reports.nsf/NumberView/1995-1-025
菲利普·G·布拉德福德和鲁道夫·弗莱舍。螺母和螺栓的匹配速度更快。 程序 6号诠释症状算法计算。，402-408，1995年。科学 1004。
JánosKomlós，Yuan Ma和EndreSzemerédi。在时间内匹配螺母和螺栓。SIAM J.离散数学。11（3）：347-372，1998年。 $O(n\log n)$
Gregory J. E. Rawlins。比什么？：算法分析导论。计算机科学出版社/ WH Freeman，1992年。

— 杰夫斯
source

2

这是一个美丽的例子，但这是一个oracle问题。有什么办法可以从中删除oracle？

— 彼得·索尔

找到了98 Szemeredi论文的链接？这有多难？平行比较每个螺栓和一个独特的螺母，然后将每个螺母按排序顺序排列；删除匹配的元素。在log（n）步骤中，合并排序的nbnbnbnbnb序列，在匹配出现时将其踢出。编辑：是的，nnn和bbbb字符串的不可比性在合并步骤上很烦人。

— 乍得·布鲁贝克

@ChadBrewbaker假设每一对中，螺栓比螺母小。（是的，这是可能的。）现在，您的算法会做什么？换句话说，“烦人” =“整个问题”。

— Jeffε

我一直在寻找Szemeredi纸，然后大声思考它的难度。是的，我同意基于合并的方法并非易事。但是Vishkin关于并行图连通性的论文给人以直觉，这并非不可能。

— 乍得·布鲁贝克

通过对螺母和螺栓的每次比较，您都可以将有向边添加到图形中或将两个顶点都移除的匹配项。目的是合并连接的组件，使它们以线性的工作量折叠它们之间的所有匹配，并使连接组件中的边的存储大小限制为线性空间。

— 乍得·布鲁贝克

17

一旦您不仅在谈论多元时间，而且在研究我们研究的许多计算模型后，到处都有示例：

在Logspace中：无方向的ST连接（自1979年以来在RL中，仅从2005年以来在L中）

在NC中：在二部图中并行查找完美匹配（在RNC中，但仍未知在NC中）

在交互式证明中：确定性给定NP，而随机性给定PSPACE。相关：确定地检查证明需要查看所有证明，而PCP证明仅允许您检查恒定位数。

在算法机制设计中：许多随机的真实逼近机制，没有确定的对应物。

在“通信复杂性”中：等式函数需要确定性地进行线性通信，但需要对数（或取决于精确模型，恒定）通信。

在决策树中：评估“与”或“或”树需要确定性的线性查询，而随机化则要少得多。这基本上等效于alpha-beta修剪，后者提供了用于游戏树评估的随机亚线性算法。

在流模型中，为分布式计算模型：请参见先前的答案。

— 诺姆
source

12

大多数流算法

在流式计算模型（AMS，书籍）中，一种算法处理在线更新序列，并且被限制为仅保留亚线性空间。在任何时候，算法都应该能够回答查询。

$t$ $i_t \in [n]$ $D_m = |\{i_t: t = 1\ldots m\}|$ $m$ $\Omega(n)$ $O(\log n)$ $O(\frac{1}{\epsilon^2} + \log n)$ $1\pm \epsilon$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
source

8

$n$ $\Delta$ $\min(\Omega(\log\Delta),\Omega(\sqrt{\log n}))$

$u$

$u$ $1/d_u$ $d_u>0$ $u$ $d_u=0$ $u$
$u$ $u$
$v$

$O(\log n)$ $O(n^{1/\sqrt{\log n}})$

[1] Michael Luby：关于最大独立集问题的简单并行算法。SIAM J.计算。15（4）：1036-1053（1986） http://dx.doi.org/10.1137/0215074

[2] Alessandro Panconesi，Aravind Srinivasan：论分布式网络分解的复杂性。J.算法20（2）：356-374（1996） http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1996.0017

[3] Fabian Kuhn，Thomas Moscibroda，Roger Wattenhofer：本地计算：上下界。CoRR abs / 1011.5470（2010） http://arxiv.org/abs/1011.5470

— 彼得
source

受生物系统启发，最近的算法（在PODC 2013上）通过使用简单的本地反馈机制获得了与Luby相同的性能。 arxiv.org/abs/1211.0235

— 安德拉斯·萨拉蒙

6

匿名选举过程中的领袖选举

$1$

有一个简单的论点（例如[1]），没有针对匿名环的确定性领导者选举算法。

模型：我们假设计算在同步回合中进行，在每个回合中，每个进程都执行一些本地计算，将消息发送到环中的邻居，并从其邻居接收消息。

$A$ $r\ge 0$ $1$

$r\ge 0$ $r$ $A$ $r$ $r$ $r+1$ $A$

$A$ $n$ $[1,n^4]$

[1] Dana Angluin：处理器网络中的本地和全局属性（扩展摘要）。STOC 1980：82-93。 http://doi.acm.org/10.1145/800141.804655

— 彼得
source

6

查询模型中的多数问题。

$n$ $i$ $j$

$n/2$ $O(n)$

$O(n)$

FRK涌，RL格雷厄姆，J.毛，和AC姚明，不经意为广大和多元化问题，适应战略PROC。茧2005，第329-338页。

— 贾加迪什语
source