具有高成功概率的Grover算法的最优性

众所周知，函数有界误差量子查询复杂度是。现在的问题是，如果我们希望我们的量子算法以概率而不是通常的成功地为每个输入成功。现在，就而言，合适的上限和下限是什么？ $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $1-\epsilon$ $2/3$ $\epsilon$

立即，通过重复Grover算法来查询此任务就足够了。但是从我的回忆中，这即使是普通的Grover算法，如果谨慎运行（即对于适当的迭代次数）也可以仅通过就可以达到迭代。因此，使用它可以改善所有。另一方面，我不希望是非常小的的正确答案。 $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ $\epsilon=O(1/n)$ $O(\sqrt{n})$ $\epsilon$ $\Omega(\sqrt{n})$ $\epsilon$

不过，我很感兴趣，看看有什么可以在以下方面显示依赖性上和不同范围的下限尤其是当很小说或对于大。 $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ $\epsilon=1/n^k$ $k$

（给出一些背景信息，我遇到的一般现象是在量子查询复杂度的背景下。）

— 穆罕默德·巴伐利亚（Mohammad Bavarian）
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本文应为您的问题提供答案：arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— John Watrous，

嗯，对于的情况，我现在有点困惑。看来这篇论文arxiv.org/pdf/quant-ph/9605034v1.pdf指出，大约迭代可以得到高概率结果，即。（第一列的第2页底部）另一方面，您提到的论文在第3节的第4页末尾说，对于查询，失败概率是不可能的。

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

o (1)

$o(1)$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

— 穆罕默德·巴伐利亚

@MohammadBavarian：我认为只有在知道解决方案数量的情况下（或者有一个独特的解决方案）。

— 罗宾·科塔里

为了完整起见，这是一个答案。

让 $Q_\epsilon(f)$ 表示 $\epsilon$ 误差量子查询计算函数的复杂度 $f$ 和 $\mathsf{OR}_n$ 成为OR函数 $n$ 位，定义为 $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ 。（请注意，这与保证输入中只有一个1且目标是找到1的问题不同。该问题可以在没有错误的情况下解决。 $\Theta(\sqrt{n})$ 查询。）

那我们所有人 $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$ ，

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ 。

这是从小误差和零误差量子算法的界线出发的。

实际上，我们知道更一般的东西。对于所有对称函数 $f$ ，这些函数仅取决于输入的汉明权重，对于所有 $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$ ，

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ 。

这在有关量子算法和对称函数的最小化epsilon误差多项式的A注释中得到了证明。

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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