如何定义类型的对偶性？

在Wadler的递归类型中免费！[1]，他证明两种类型，和∃ X 。（X → F （X ））× X，并声称它们是对偶的。他特别指出，类型∃ X 。X → （X → ˚F （X ））是不$\forall X . (F(X) \rightarrow X) \rightarrow X$$\exists X . (X \rightarrow F(X)) \times X$$\exists X . X \rightarrow (X \rightarrow F(X))$前者的对偶。似乎这里讨论的二元性在逻辑上不同于De Morgan的二元性。我想知道如何定义类型的对偶性，特别是针对上述三种类型，为什么第二种是第一种的对偶而第三种却没有。谢谢。

[1] http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt

在这种情况下，对偶性是指在一种情况下采用最小固定点，而在另一种情况下采用最大固定点。我们应该在什么意义上理解和G ^ = ∃ X 。（X → ˚F （X ））× X是“至少”和“最大”递归方程的解˚F （X ）≅ X。$L = \forall X . (F(X) \to X) \to X$$G = \exists X . (X \to F(X)) \times X$$F(X) \cong X$

首先，和ģ确实固定点（在某些技术假设其限制的性质˚F），因为比较映射v ：˚F （大号）→ 大号和瓦特：G ^ → ˚F （ģ ）由下式给出 $L$$G$$F$$v : F(L) \to L$$w : G \to F(G)$ 和 瓦特（X ，（˚F ，X ））= ˚F （λ ÿ ：

$$v \, x \, X \, g = g \, (F (\lambda h : L \,.\, h \,X\, g)\, x)$$ 是同构。注意，当我们将 F应用于函数时，我们使用了 F是函子的事实，即，它是单调的。 $$w (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, y))) \, (f x)$$ $F$

假设是任何解决˚F （Ý ）≅ ý与介导的同构ù ：˚F （Ý ）→ ÿ。然后我们有由α定义的 规范映射α ：L → Y  和  β ：Y → $Y$$F(Y) \cong Y$$u : F(Y) \to Y$

$$\alpha : L \to Y \text{ and } \beta : Y\to G$$ 和 $$\alpha \, f = f\, Y\, u$$ 因此，大号是至少因为我们可以从它映射到任何其他的解决方案，和 G ^是最大的，因为我们可以从任何其它的解决方案将其映射。通过谈论初始代数和最终代数，我们可以使所有这些变得更加精确，但是我希望我的回答简短而甜美，而科迪无论如何都对代数进行了解释。 $$\beta \, y = (Y, (u^{-1}, y)).$$ $L$$G$

$F(X) = 1 + A \times X$$A$$A$

$I$$\cal C$$F:{\cal C}\rightarrow{\cal C}$$F$

• $A$$\cal C$ $$\alpha:F(A)\rightarrow A$$

• 如箭头：正方形

  

$I$$F$$I$

1. $in:F(I) \rightarrow I$
2. $F$$(A,\alpha)$$fold: I\rightarrow A$

$I=\forall X.(F(X)\rightarrow X)\rightarrow X$$fold$

$$fold=\lambda i:I. i\ A\ \alpha : I\rightarrow A$$ $in$$F$，这可以看作是一个积极性要求。

$F$$F$

• $Z$$\cal C$ $$\omega: Z\rightarrow F(Z)$$
• $F$$\alpha$$\beta$

$T$

1. $out:T\rightarrow F(T)$
2. $F$$Z$$cofold: Z\rightarrow T$

$T=\exists X.(X\rightarrow F(X))\times X$

$$cofold = \lambda z:Z.(Z,\omega,z) : Z\rightarrow T$$ $T=\exists X.X\rightarrow (X\rightarrow F(X))$

$\lambda$$\pi$

当您将类型转换（分解）为过程演算时，对偶变得简单：输入对输出是对偶的，反之亦然。对偶性没有更多。

$\pi$$\alpha = (Bool, Int)^{\uparrow}$$\alpha$$\alpha$$x$$\overline{x}\langle false,7\rangle$$\overline{\alpha}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\alpha}$$(bool,int)^{\downarrow}$$\overline{\alpha}$$x$$c(v,w).0$

$\beta = (int, (int)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\beta} =(int, (int)^{\downarrow})^{\uparrow}$$\alpha$$\overline{\alpha}$$P$$\alpha$$x$$Q$$\overline{\alpha}$$x$$P$$Q$$\beta$$\overline{\beta}$

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$X$$w$$X$$x$

$$x(vw).\overline{w}v$$ $\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$

通用量化在过程级别上意味着什么？有一个简单的解释：如果数据是由类型变量键入的，则不能将其用作输出的对象，而只能用作对象。因此，我们无法检查此数据，只能将其传递或忘记。

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$\exists X.(X,(X)^{\downarrow})^{\uparrow}$

[1，2，3]和其他一些难以访问的工作已经详细地阐明了这一理论，并且与极化线性逻辑及其对偶性概念在4中非常精确地相关。

$\lambda$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\pi$$\lambda$

$\pi$

$\pi$

$\pi$

4 K. Honda等，类型pi演算与极化证明网之间的精确对应关系。

5 R. Milner，充当过程。