向日葵系统的最新技术

我对向日葵系统及其在计算机科学中的应用很感兴趣。

给定一个宇宙和个集合的集合如果所有，则称为k向日葵系统。而被称为核心，被称为花瓣。 $U$ $k$ $A_i$ $A_i \cap A_j = Y$ $i \neq j$ $Y$ $A_i - Y$

集的族称为统一，它包含的所有集都具有元素。 $F$ $s$ $s$

鄂尔多斯和拉多证明，对于|统一集合，如果，则必须包含向日葵系统花瓣。 $s$ $F$ $F$ $k$ $|F| > s!(k-1)^s$

该结果称为向日葵引理，并具有许多重要的应用。

鄂尔多斯猜想每，存在一个常数，因此每个均匀族的上限应该为。（向日葵的猜想） $k$ $c_k$ $c_k^s$ $s$ $F$

不幸的是，这个猜想对于仍然是开放的。 $k=3$

这是我想知道的。

如果我们限制在宇宙中元素的个数 .Suppose = 。然后问题出在： $U$ $|U|$ $u$

考虑到与宇宙元素， -uniform家庭含有的元素集合，我们应该可以找到常量的序列，，，......这样每 -uniform家庭包含向日葵系统，如果和。 $u$ $s$ $F$ $U$ $c_1$ $c_2$ $c_3$ $s$ $F$ $3$ $|F|>$ $c_i^s$ $|U|=i$

而且，如果我们可以证明序列收敛于常数，那么似乎可以证明向日葵的猜想。 $c_i$ $c$

但是我找不到这样的结果，可能是这种方法太愚蠢或太难了。

谁能提供最先进的向日葵引理和猜想（有限版本也可以）。

我可以提供一些。Junka的书The Extremal Combinatorics中有一章。

上面的论文是其应用之一（有限版）

关于向日葵和矩阵乘法N Alon等

co.combinatorics set-theory

— 王瑶
source

除了您引用的新应用程序和alons最近的论文以外，似乎没有太多直接的工作要做，这可能会增加兴趣，并且是开始撰写参考书摘的最佳位置（＆juknas书也无与伦比）。这是kalai在他的博客上的互连的一个很好的摘要

— vzn

我认为有一个

取决于

因为您可以设置

，所以问题变得微不足道。我的印象是，不依赖

引理是一件有趣的事

c_{i}

$c_i$

i = | U |

$i = |U|$

c_{i} = 2^{i}

$c_i = 2^i$

| U |

$|U|$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov。感谢您的答复是的，我们想要的是不依赖

。但是如果我们有

，那么我们可以明确地建立的最大的家庭

。我想知道的是，这个明确的建筑是否可以显示出一些有趣的问题。例如，我们可以找到一个

的家庭，它仍然不包含向日葵系统。我试图建立这样一个最大的家庭，但是似乎很难。除了Junka's Book（Cha7）上的示例，我无法建立更大的最大家族。

| U |

$|U|$

| U |

$|U|$

F

$F$

2^{i - ϵ}

$2^{i-\epsilon}$

— 姚王

简要地说，我问我们是否可以改善下限。

— 姚王

在开放了半个多世纪以来，鄂尔多斯的向日葵猜想似乎非常困难。youve已经列出了该主题上一些最好和最新的参考文献，这些文献很难被击败（Alons最近的论文，Juknas的《组合学》）。Alon论文在将猜想与矩阵乘法的下界新联系方面引起了高度关注，该领域最近在Williams结果中取得了突破性进展。[4]

您可以在Jukna的杰出著作[1]中找到一些进一步的处理方法，主要用于极端回路理论（回路下限由Razborov发现并由其他人扩展）。

Rossman [2]提出了一个值得注意的/与此相关的近期参考文献，这些参考文献迄今尚未广为人知或被引用[2]，具有新的应用方向（单调电路上的Erdos-Renyi随机图），并且证明了在“准”向日葵上扩大和/或增强结果。该论文是他的博士学位论文的结果[3]。从论文摘要

我们介绍了向日葵的新变种，并证明了向日葵引理的类似物可能引起人们的兴趣。

[1] 布尔函数的复杂性，进展和前沿

[2] 随机图上k群体的单调复杂度（2009） Rossman

[3] Rossman 检测案件的平均情况复杂度

[4] 威廉姆斯在矩阵乘积下界突破方面的评论 RJ Liptons Godels Lost Letter博客

[5] 向日葵的详细资料

— z
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