没有PCP定理时的近似硬度

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PCP定理的一个重要应用是产生“近似硬度”类型的结果。在某些相对简单的情况下，无需PCP即可证明这种硬度。但是，是否存在任何情况下，首先使用PCP定理证明了近似结果的硬度，即该结果以前未知，但后来发现了一个更直接的证明，它不依赖于PCP？换句话说，在任何情况下，PCP都首先出现是必要的，但后来可以消除吗？

cc.complexity-theory approximation-hardness pcp

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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本文是一个示例：

Guruswami，V.和Khanna，S.（2004）。关于4色3色图的硬度。SIAM离散数学杂志，18（1）：30-40。链接

Khanna，Linial和Safra（2000）使用PCP定理证明，仅使用4种颜色对3色图形进行着色很难NP。后来，Guruswami＆Khanna（2004）给出了同样结果的无PCP证明以及其他一些优点。

— vb le
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您是否愿意在答案中描述文章，而不是仅仅使用超链接指向它？

— Niel de Beaudrap 2012年

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对于有向图中的最大边不相交路径问题，Ma＆Wang（2000）的论文基于标签覆盖问题，而标签覆盖问题又基于PCP定理。随后，Guruswami等人发现通过2-disjointpath问题硬度的简单降低。等（2003年）也提高了硬度。

— 钱德拉·切库里（Chandra Chekuri）
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但是2分离路径硬度是否需要PCP？

— Suresh Venkat

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(s_{1}, t_{1})

$(s_1,t_1)$

(s_{2}, t_{2})

$(s_2,t_2)$

G

$G$

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有一些来自近似计数的例子。大约计算一个NP关系的满意分配数仅比确定是否存在一个满意分配困难，因此，不需要PCP定理来证明此类问题的难度就不足为奇了。尽管如此，PCP定理有时还是提供了一个方便的起点，例如，对于本文而言，大约是在稀疏图中对独立集合的数量进行计数：http : //www.dcs.ed.ac.uk/home/mrj/papers/ DFJ02.pdf 后来，Sly证明了仅基于Max-Cut的标准NP硬度即可近似计数独立组的硬度结果：http : //arxiv.org/pdf/1005.5584v1.pdf

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
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1

d = 6

$d=6$

2

c

$c$

e^{c n}

$e^{cn}$

c

$c$

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另一个答案与以前的答案有所不同，它是Uri Feige的这篇论文：平均案例复杂度和近似复杂度之间的关系。

乌里（Uri）显示，平均情况假设可以代替PCP定理，以证明某些问题的近似硬度。但是请注意，我们不知道如何证明平均情况假设，并且有一些证据表明我们无法基于标准NP硬度假设来证明它们（请参阅Feigenbaum-Fortnow的论文， Bogdanov-Trevisan等）。

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
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