非凸二次规划的精确算法

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这个问题是关于具有框约束（box-QP）的二次编程问题，即形式的优化问题

最小化受。 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$ $\mathbf{x} \in [0,1]^n$

如果是正半定的，那么一切都会变得很好，很容易且凸且容易，并且我们可以在多项式时间内解决问题。 $A$

在另一方面，如果我们有完整性约束，我们可以很容易地解决在时间问题通过强力。出于这个问题的目的，这相当快。 $\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$ $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

但是非凸连续情况呢？通用盒式QP最快的已知算法是什么？

例如，可以在我们适度指数时间解决这些，例如，，或者说是最有名的算法东西最坏情况的复杂性差多少？ $O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

背景：我实际上要解决一些非常小的box-QP，而且即使看到很小的值，也看到某些商业软件包的性能很差，我感到有些惊讶。我开始怀疑这个观察是否有TCS解释。 $n$

ds.algorithms optimization exp-time-algorithms

— Jukka Suomela
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A

$A$

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

n

$n$

ϵ = 10^{- 9}

$\epsilon = 10^{-9}$

通过消除实数封闭域上的量词，始终可以精确地求解这些系统。

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O (3^{n})

$O(3^n)$

Answers:

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最佳解决方案在于某些方面。因此，我们可以遍历立方体的所有面，并在每个面上找到所有固定点。

$I_0$ $I_1$ $i \in I_0$ $x_i = 0$ $i \in I_1$ $x_i = 1$ $\tilde{x}$ $x$

{\tilde{x}}^{⊤} \tilde{A} \tilde{x} + {\tilde{c}}^{⊤} \tilde{x} + d,

$\tilde{x}^{\top} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c}^{\top} \tilde{x} + d,$

$\tilde{A}$ $\tilde{c}$ $d$ $0 < \tilde{x} < 1$

为此，我们采用目标函数的微分来获得

\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.

$\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.$

求解此线性方程组可为您提供固定点，即最佳解的候选点。我们仔细检查所有条件，检查条件，然后选择目标值最小的一种。

$O(3^n \text{poly}(n))$ $n$ $3^n$ $n$

— 冈本佳男
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1

f

$f$

@cody：这是因为每个多面体都是其面的不相交的并集。

— 冈本佳夫（Yoshio Okamoto）2015年

f

$f$

@cody：该属性仍然有效，但是我们需要求解一个以上的代数方程。恐怕对于多变量情况而言，这并非微不足道。

— 冈本

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