Cai-Furer-Immerman小工具中的自同构

在通过Weisfeiler-Lehman（WL）方法进行图同构的著名反例中，Cai，Furer和Immerman 在本文中构建了以下小工具。他们构造了一个图由$X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

一个在纸上的引理（引理3.1第6页）的状态，如果我们的着色顶点和b 我的色彩我那么| 甲ù 吨（X ķ）| = 2 ķ - 1（颜色必须由构被保留），其中每个构对应于交换一个我和b 我每个我在部分子集š的{ 1 ，2 ，... ，ķ $a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$甚至基数。他们说证明是立竿见影的。但是我看不到的情况如何。在X 2（一个1，米{ 1 ，2 }）是边缘，但如果我们具有同构，其互换一个1，b 1和一个2，b 2以上边缘被转化为（b 1，米{ 1 ，2 }$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$$(b_1, m_{\{1,2\}})$这不是优势。因此，这不应该是自同构的。

我想了解我的误解。

您缺少连接到所有b的空集。为了得到一个同构，你选择一个子集牛逼⊆ { 1 ，。。。，ķ }甚至基数，然后交换一个我与b 我每个我∈ Ť然后在中间调整套。在您的示例中，图形为（a 1，{ 12 } ），（a 2，{ 12 } ）$\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

仍然在你的例子，如果你不需要做任何事情，如果 牛逼= { 1 ，2 }同构是通过交换给出一个1与b 1，一2与b 2和{ 1 ，2 }与∅。$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

现在，对于一般情况，我们需要证明总是有一种调整中间顶点的方法。我们知道甚至具有基数。所以让| T | = 2 - [R。我们只需要证明| | T | = 2，因为否则我们可以应用与将T划分为大小为2的r个子集相对应的r个自同构的组合。因此，假设T = { i ，j }。然后同构交换一个我用$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$， 一个Ĵ与 b Ĵ，每个中间顶点 š使得小号∩ { 我，Ĵ } = ∅与中间顶点小号∪ { 我，Ĵ }（这可以在实例中可以看出），并且每个子集 š这样该小号∩ { 我，Ĵ } = { 我}与子集，使得小号∩ { 我，Ĵ $b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$（对于 k = 3可以看到）。请注意，此交换过程是自同构的，因为对于索引 p ≠ { i ，j }， a p， b p和这些交换的顶点之间的边缘关系得到了完全保留，并且显然 i a，a j，b i之间的边缘关系，b j正确调整。$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

最后，要了解这些是唯一可能的同构，请注意，每个都有自己的颜色。因此它们无法映射到另一对a j，b j。还要注意，如果不将某些a i与某些b j交换，就不可能具有将中间顶点映射到中间顶点的自同构。$a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$