最小集合不包含在集合集合中

给定一个整数$n$和的元素集合作为输入，找到的元素集合的复杂度是多少使得具有最小的基数，并且不包含在？的集合中。{ 1 ，。。。，Ñ } Ť { 1 ，。。。，n } T T $S$$\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

让，并让˚F = { s ^ 1，S ^ 2，... ，小号米 } ⊆ 2 [ Ñ ]是输入集族。除非我误解你的问题制定，我们希望找到一个最小尺寸设定牛逼⊆ [ Ñ ]这样牛逼⊈ 小号我对所有我= 1 ，$[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$。$i = 1, 2, \dotsc, m$

要回答你的问题，需要注意的是当且仅当牛逼∩ （[ Ñ ] ∖ 小号我）≠ ∅。也就是说，T必须与每个S i的补码相交。但是这意味着您的问题是，本质上，相当于hitting集问题（考虑击中输入组G ^ = { [ Ñ ] ∖ 小号我：我= 1 ，2 ，... ，米}）：$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

击中集。 给定一组家庭和整数ķ，不存在一组Ť ⊆ [ Ñ ]与| T | ≤ ķ和牛逼∩ 小号≠ ∅所有小号∈ ˚F？$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

已知命中集是NP完全的，并且，从广义上讲，除非强指数时间假说失败，否则求解不能比时间快。$O(2^n)$

该问题等效于“设置封面问题/击中设置问题”：

鉴于家庭的子集{ 1 ，... ，ñ }，找到一套牛逼⊂ { 1 ，... ，ñ }可能性最小尺寸的相交每一套家庭˚F。$\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

你的问题是相当于碰集问题，因为不会在任何一套谎言小号当且仅当它在每一套相交˚F = { ˉ 一：一∈ 小号}。（所以要解决击中集问题的一个实例，它足以解决你的问题的实例小号= { ˉ 一：一∈ ˚F }）。$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

命中集问题是NP难题[Karp'72]。有一个近似算法和近似结果的匹配硬度[Lund，Yannakakis '94，Feige '98]。$O(\log n)$