“ P”和“ NP-hard”的舒适邻里

令为算法任务。（它可以是一个决策问题或优化问题或任何其他任务。）让我们把X “的多项式侧”如果假设X是NP难是众所周知的暗示多项式hieararchy崩溃。如果假设X承认多项式算法，即隐含多项式层次结构，则我们称X为 “ NP侧” 。$X$$X$$X$$X$$X$

当然，P中的每个问题都在多项式侧，而NP难的每个问题都在NP侧。同样，例如，因式分解（或NP相交coNP中的任何值）在多项式侧。图同构在多项式侧。QUANTUM-SAMPLING在NP端。

1）我对多项式方面（尤其是在NP方面的更多示例）中的算法示例的更多示例（尽可能自然）感兴趣。

2）天真地看，NP端是NP难题的一种“邻居”，而P端则是“ P的邻居”。与NP方面的问题相比，将NP方面的问题视为“难得多”是否是正确的见解。甚至将NP方面的问题视为“道德上对NP很难”？

3）（这可能很明显，但我看不到）双方都有还是有理论上的理由认为这样的X不太可能。更新答案为“是”；请参阅下面的Yuval Filmus的答案。$X$$X$

（如果这些“方面”与实际的复杂度类相关，并且如果我错过了一些相关的抄送术语或相关结果，请告诉我。）

更新：到目前为止，这个问题有几个很好的答案。正如Yuval Filmus首先指出并再次提到的，这个问题不是形式上的，需要对表明X在P侧/ NP侧的论点进行一些限制。（否则，您可以让X成为提供正反两面0 = 1的证明的任务。）撇开这个问题，可能是NP侧的问题X（通常是问题）以某种方式捕获了硬度在SAT的硬度方面，尽管这可能也是P侧某些问题的情况，其中SAT的硬度以可证明的方式减弱（甚至略微降低）。尤瓦尔·菲利库斯（Yuval Filmus）给出了双方的SAT的弱化版本。安迪·德鲁克（Andy Drucker）给出了两个有趣的例子（有两个答案），其中包括对舍宁（Schöning）的低层次结构和高层次结构的引用，斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）给出了进一步有趣的示例，提到了反转单向函数的问题，该函数接近捕获NP硬度，但在P侧，他的答案还讨论了QUANTUMSAMPLING的有趣情况。我提到了Feige和Lund提出的此类旧结果。

“在P端”和“在NP端”这两个名词，当然还有问题标题，鼓励我们想象围绕P的“舒适邻域”和围绕NP难题的另一个“舒适邻域”。但是，我想说的是，这两个街区根本不是那么“舒适”！

首先观察到，“在P侧”存在的问题在“道德上”看起来比NP难得多，而在NP上则更接近。当然，Gil可以预料到一个例子是单向函数求逆的一般问题（具体取决于允许的减排类型；请参见Bogdanov-Trevisan或Akavia等。）

相反，“在NP端”也存在一些问题，这些问题似乎与NP困难“任意距离”。一个愚蠢的例子是随机语言L，其概率比L大1！因为如果这样的L在P中，则0 = 1且数学不一致，因此PH也崩溃。;-D

（请注意，随机语言L 也在 “ P侧”，比L的概率为1。因为几乎所有这样的L都具有以下性质：如果它们是NP难解的，则NP⊆BPP和PH会崩溃。这给出了比“拉德纳定理”更有吸引力的证明，即“两面都存在”两种语言。的确，这表明了无数种语言的无限性，“几乎所有”语言-实际上是100％-在两边！）

这听起来像是少年游戏，但我想从中吸取教训。我认为，即使QUANTUM SAMPLING正式在“ NP方面”，与随机语言L相比，该问题几乎更接近“在道德上对NP困难”。Arkhipov和我（以及独立地，Bremner-Jozsa-Shepherd）表明，如果QUANTUM SAMPLING在P中（或更确切地说在SampBPP中，是多项式可解决的采样问题的类别），则P ^#P = BPP ^NP，因此多项式层次结构崩溃。但是，如果您是BPP机器，就我们所知，BosonSampling的预言机将使您比随机预言机更接近解决NP完全问题。仅当您已经具有解决NP完全问题的能力时-说，^NP机器-您是否“注意到” BosonSampling oracle将您的功能进一步提高到#P。但是，将NP提升到#P的特性似乎不同于，甚至是与NP相对独立的特性。

顺便提一句，吉尔的问题提出了一个奇妙的开放问题，即BosonSampling是否也“在P端”。也就是说，我们是否可以证明，如果NP降低为BosonSampling，那么PH就会崩溃？尽管我可能会遗漏一些显而易见的东西，但乍一看，我不知道如何证明这样的事情，而且我不知道如何证明如果NP⊆BQP然后PH崩溃的更强烈的含义。

有两条评论，两者都不等于答案，但可以提供一些有用的进一步阅读。

$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

需要明确的是，没有真正的证据表明这个问题不是 NP难题，或者从任何意义上说都很容易。但这似乎与NP中的其他难题完全不同。我认为这是NP中间问题中最有趣的候选人之一，而不是众所周知的候选人。

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

在回答Bodlaender，Downey，Fellows和Hermelin的问题时，Fortnow和Santhanam证明了这种压缩减少的可能性不大，因为这会使Poly Hierarchy崩溃：

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

他们的结果适用于允许单方面误差的随机归约。我证明了在

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

（这些论文中的每一个实际上都比上面引用的结果提供了更具体，更具体的信息。）

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

我遇到了Feige和Lund提出的结果，该结果表明，除非多项式层次结构崩溃，否则很难猜测关于随机矩阵永久性的非常局部的信息。

Uriel Feige和Carsten Lund，关于计算随机矩阵永久性的难度。 计算复杂度6（1996/1997）101-132。

我还要提到乌里·费格引起我注意的另外两个相关结果：

以下两篇论文在内核化（固定参数可处理算法）的上下文中应用了此方法。

汉斯·波德兰德（Hans Bodlaender），罗德尼·唐尼（Rodney G. Downey），迈克尔·R·费洛夫（Michael R. J.计算机 Syst。科学 75（8）：423-434（2009）

Rance Fortnow，Rahul Santhanam：NP实例压缩和简洁PCP的不可行。J.计算机 Syst。科学 77（1）：91-106（2011）