TCS在古典数学中的应用？

在TCS中，我们经常使用经典数学（代数，拓扑，分析，几何等）的强大结果和思想。

当它反过来时，有哪些例子呢？

这是我所知道的（并提供我要询问的结果的类型）：

• 立体泡沫（Guy Kindler，Ryan O'Donnell，Anup Rao和Avi Wigderson：球形立方体和高尺寸倒圆，FOCS 2008）
• 几何复杂性理论程序。（尽管从技术上讲，这是对TCS的代数几何和表示理论的应用，但在追求P vs NP的过程中，他们被引入了新的量子群以及纯粹的代数几何和表示理论的思想。）
• 受近似算法和不可逼近结果启发而进行度量嵌入的工作

除非它们特别令人惊讶，否则我尤其不希望将TCS应用于逻辑（有限模型理论，证明理论等），因为出于这个问题的目的，TCS和逻辑之间的关系过于紧密，过于标准和历史性。

扩展器在TCS中得到了很大程度的发展，它们与数学有着深远的联系和应用。

Dvir 证明了有限域Kakeya猜想。

$P^{\sharp P}\neq NP$

不变性原则是由近似硬度引起的，但它是有用的解析定理。原理：无论输入是独立的随机变量还是（对应的）高斯随机变量，一个低度函数（每个变量的影响都很小）的行为几乎相同。这是中心极限定理的推广；那里的功能是变量的平均值。

低影响功能的噪声稳定性：不变性和最佳性 E. Mossel，R。O'Donnell，K。Oleszkiewicz。数学年鉴171（1），第295-341页（2010）。FOCS '05。

$n$$F$$F^n$$F^n$

在特定空间中汉明距离与低次多项式的接近度意味着该函数在空间的某些不可忽略的分数上以低次多项式识别。

改进的低度测试及其应用。S. Arora和M. Sudan。在ACM STOC 1997中。

次常数误差概率低度检验和NP的次常数误差概率PCP表征，R.Raz，S.Safra，29th STOC，1997，pp.475-484

尽管我有偏见，但我认为可以说，来自TCS的各种想法为Gowers规范的逆猜想的发展做出了贡献，例如，参见Green和Tao的论文。

可计算性理论是TCS的一部分吗？如果是这样的话，那么Bob Soare的“可计算性理论和微分几何”就是一个例子，它阐述了他在Csima中获得的结果的应用。

不知道为什么链接没有显示。...这里：http : //www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

提取器是另一个值得一看的地方。例如，Barak-Kindler-Shaltiel-Sudakov-Wigderson'04的论文（除其他事项外）改进了Ramsey图的构造（该问题在离散数学中已经存在了一段时间）。

$\epsilon$

该锯齿形扩展结构用于构建具有一定的突发性群体的各种有趣的例子，看到Meshulam-Wigderson，Rozenman-沙莱夫-Wigderson。从纯粹的数学观点来看，该构造本身非常有趣，因为与以前的构造相比，它使用完全不同的工具（受CS处理熵的驱动）构建了扩展器。（但是，最著名的应用程序可能位于TCS-Reingold的logspace算法内部，用于无方向性连接。）

让我再提几个应用程序：

TCS对纯数学的最重要贡献也许是归约艺术。TCS在计算复杂性和其他地方使用的形式的减少代表了一种数学范式/工具，与其他数学领域相比，TCS在TCS中更加发达。

概率证明的概念：在这里，我不是指概率方法（它起源于数学，但对CS有很多应用），而是指这样的事实：像声明某个数字的语句这样的数学语句是质数，可以得到“毫无合理怀疑的证据”。这是CS的一个概念突破，尽管它在数学实践中还没有太多应用。

Moser对Lovasz Local Lemma的建设性证明使用计算机科学思想，为Lovasz Local引理提供了新的证明，并解决了人们已经思考了很长时间的问题。

该巴特森-斯皮尔曼-斯里瓦斯塔瓦屏障功能的方法已经有了大量的应用到几何形状和功能分析，出现在计算机科学，而且是潜在的函数参数的一个非常原始的形式，让人联想到悲观估计的方法。而且，与传统观点相悖的是，分析随机矩阵的特征多项式是棘手的，而最好是不考虑矩阵矩。

首先开发了势垒函数方法来证明存在（并在确定的多项式时间内构造）图的稀疏器，这些稀疏器保留了它们的频谱特性。这样的稀疏化器是由算法应用程序驱动的：基本上，任何需要近似计算切点的算法都可以通过将原始输入的稀疏化版本作为输入而加快。

$\ell_1^n$

快进到2013年，Marcus，Srivastava和Spielman使用了针对类固醇的屏障函数方法，并通过交织多项式的方法对其进行了扩充，以解决功能分析中最臭名昭著的问题之一，即Kadison-Singer问题。 。这个问题是由数学物理学中的基本问题引起的，但它却要走得更远-众所周知，它相当于整个数学中的许多问题。更不用说许多分析家（包括Kadison和Singer）甚至都不认为该问题具有积极的解决方案（Cassaza等人引用的调查推测了可能的反例）。

想到的一个例子是希格曼的嵌入定理，它是群论的结果。

Higman嵌入定理：当G是有限表示组的子组时，组G是通过递归表示来有限生成的。

（请注意，等价项的左侧部分具有计算成分，而右侧部分纯粹是分组理论）。

数个世纪以来，随机性的含义，解释为“随机序列”的内容以及相关问题在数学，概率论和统计中都很重要。理论计算机科学（和复杂性理论）为理解随机性提供了非常有力的深刻而令人信服的见解。

概率方法是从数学去随机化开始的，而随机化是一个重要的数学概念，主要是在CS中开发的。

这与莫里茨的答案有关。

自动机理论与代数

自动机理论已经给出了一些有趣的结果来表征代数性。我提到其中两个，并提供参考。这绝不是穷举。

1.的代数闭合$\mathbb F_q(t)$

$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

$\mathbb F_q(t)$$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2.先验数字

自动序列也用于表征先验数字。例如，

$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. $\mathbf x$$x$
2. $\mathbf x$$b$$x$
3. $x$

当然，第一项是非常经典的结果！

参考文献。

[1] Gilles Christol。集合了p-riodiques k-reconnaissables。在理论计算机科学 9（1），页141-145，1979。

[2] Kiran S. Kedlaya。函数场的有限自动机和代数扩展。在杂志德théorie德nombres波尔多 18，第379-420，2006年的arXiv：数学/ 0410375。

[3] Boris Adamcweski，Yann Bugeaud。关于代数数的复杂性I.整数基的展开。在《数学年鉴》 165（2）中，第547-565页，2007年。

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

恕我直言，TCS是数学的一个分支，我会更广泛一些。我们生活在算法时代，几乎在所有人类活动中，每个人都发明/重新发明了算法，主要是启发式算法。但是其中一些算法是1.好；2.包含（掩埋）深层数学问题的答案；3.等待专业的数学分析/改进/注意。我的个人经验：一种物理学/机器学习启发法的惊人力量，即Bethe近似法，作为一种证明技术。主要问题在于，此类可能的相遇主要发生在行业中，没人关心那些与产品无关的见解/启示。