学习GCT的前提条件

似乎几何复杂性理论需要大量纯数学知识，例如代数几何，表示论。

虽然我是一名CS学生，并且没有非常抽象和纯粹的数学课程，但我对该程序很感兴趣。

是否有用于学习该理论的“最少知识”列表？

此列表包括CS或数学部门的讲义，任何期刊或会议的调查以及纯数学教科书。

[ 编辑：以后添加 ]感谢您的评论。

一般计算理论：我读了Sipser的书，标题为“计算理论导论”

复杂性理论：特别是，我对降低复杂性的具体模型感兴趣。因此，我阅读了Arora-Barak教科书中的“具体下界”部分。在Nisan撰写的通信复杂性书的几章中，我也有基本的知识。

基础数学：我已经学习了基于证明的线性代数，例如向量空间的一般定义等，以及基于epsilon-delta参数的精确计算参数。

代数：我了解了组，环和域的定义和示例。我有一班面向CS学生的课程，还没有了解这种代数系统的一般理论。

简短的答案：一旦您了解了一些小组，圆环和领域，就真正了解数学的最基本知识就是GCT计划的前半部分，基本上是在我的论文的第3章中介绍了（无耻的自我插入）。但是，这一章是不完整的，因为我不涉及事物的表示论部分。表示理论对于该计划的后半部分至关重要（这就是为什么我正在努力扩展该章以将其包括在内）。

如果你真的想进入GCT，由Goodman和瓦拉赫对称，陈述和不变量和行动和W.费勒斯桑托斯代数群的不变量都是相对独立的，有很多是相关的GCT良好的信息。我不确定它们是否是最好的学习资源，因为我是在学习了大量这些材料之后才了解它们的，但是它们涵盖的内容与与GCT相关的内容所占的比例很好。富尔顿（Fulton）和哈里斯（Harris）非常擅长表示理论，并且本书中的许多示例/练习都与GCT相关。

更长的答案：正如Vijay指出的那样，这实际上取决于您想学什么/多少。下面的主题正是我认为需要的背景，因为这是一个问题。我不确定这是完整的清单-我建议您尝试阅读一些有关GCT的论文，当您迷路时，请寻找背景材料。在学习背景材料时，每隔一段时间就会回到GCT论文中，看看您是否可以继续学习。

（根据您想学习的内容，我实际上不同意Zeyu的观点，您应该首先尝试一些研究生的可交换代数，尽管在学习GCT的某个时候这是必要的。）

例如，如果您想了解Mulmuley的最新FOCS论文，则需要了解：

• 硬度与随机性原则（请参见Impagliazzo-Kabanets，也许还有Bill Gasarch关于硬度v随机性的论文清单）
• 基本代数几何，直到希尔伯特的Nullstellensatz和Noether的归一引理。这些可以在任何有关代数几何的基础教科书中找到，并且可能在大多数教科书中都可以找到。
• 一些经典不变性理论（您实际上不需要地电不变性理论，方案以及本文的Mumford-Fogarty-Kirwan书）。想到了Sturmfels的书《不变理论中的算法》。
• 对于本文中的某些结果，但对于总体而言，绝不是本文的全部，您可能需要其中的一些（并且这些参考文献也可以在本文中找到）：表示理论（如Fulton和Harris一样），矩阵不变量的结果[ Artin，Procesi和Razymslov]，...$SL_n$

如果您想了解GCT方法的总体概述，但需要一些数学细节，我建议：

• 永久性与决定性问题。永久物的#P完整性和行列式的GapL完整性。Agrawal对此进行了很好的调查（仅略微过时），完整性证明可在Burgisser的书《代数复杂性理论的完整性和约简》中找到。

• 小组和小组行动（代数小组和代数小组行动是有帮助的，但在此级别上不是必需的）。您应该了解轨道稳定器定理。

• 通过希尔伯特的Nullstellensatz仿射代数几何。基本上，您只需要了解仿射代数变体与其坐标环之间的对应关系。

• 基本表示理论在富尔顿和哈里斯。除了基本定义之外，您还需要了解这些表示形式的完全可约性，以及表示是按分区进行分类的事实，但是您不必了解后者的证明/构造。 G L $GL_n$$GL_n$

如果您想深入了解正在发生的事情（并且我不确定我是否可以声称自己在那里，但是我想我知道要到达那里的知识），那么您可能还应该了解：

• 归约代数群的结构和它们表示中的轨道闭合。我喜欢的书W.费勒斯桑托斯这一点，但也通过波莱尔线性代数群，由魏尔的典型群，以及其他经典。

• Luna-Vust机械（Luna切片定理，Luna-Vust复杂度）

• Tannakian对偶性（请参阅Deligne-Milne的论文；如果没有类别理论和仿射代数群的背景知识，这将是很难读懂的）。这从本质上说“（亲）仿射代数群由它们的表示形式决定”。我认为您不需要整个论文，而是您不需要如何从其表示类别中恢复组（Cor。3.4）。

• 更多的表示理论，特别是应用于代数群的坐标环及其轨道闭合。我真的很喜欢Goodman和Wallach撰写的这本书，特别是因为它基本上是独立的，并且它确实具有理解GCT所需的很多内容。（此外，Fulton和Harris的许多说明/侧面部分和练习都在GCT上大显身手，尤其是有关Littlewood-Richardson和Kronecker系数的内容。）

如果您想实际研究表示理论，则可能想了解更多的代数组合/组合表示理论。我真的不知道所有正确的参考资料，但是一定要了解Littlewood-Richardson规则，富尔顿（Fulton）的著作《年轻Tableaux》对此很有帮助。

据我所知，有关这方面的最新论文是Blasiak，Kumar和Bowman，De Visscher和Orellana。

根据您要进入的方向，您可能还希望研究量子组，但这不是必需的（请注意：这些不是组的特殊情况，而是特定方向的概括）。

在事物的更几何方面，您将需要研究诸如微分几何之类的切线和密合空间，曲率，对偶变数之类的事物，这些都是基于Mignon的烫发对det最著名的下界-雷沙耶尔（Ressayre），其次是兰兹贝格（Landsberg）-马尼维尔（Manivel）-雷沙尔（Ressayre）。（Mignon-Ressayre不需要任何这些东西就可以理解，但是您可以在研究某些品种的曲率时松散地查看它们的论文;对于较宽松的视图，请参阅Landsberg-Manivel-Ressayre中双重品种的用法。 ）（另请参阅Cai，Chen和Li，将Mignon-Ressayre扩展到所有奇怪的特征。）另请参阅Landsberg和Kadish。

如果您对矩阵乘法的GCT方法感兴趣，那么它只涉及张量秩，边界秩和割线变种。我建议您看一下Burgisser-Ikenmeyer，Landsberg和Ottaviani的论文，Landsberg，Landsberg的调查和著作。当然，了解矩阵乘法（上下限）方面的经典知识也将是一件好事，但这是一整套蠕虫。