原始递归函数的组合器

众所周知，S和K组合器是图灵完成的。是否有足以产生（仅）原始递归函数的组合器？

lo.logic computability

— 尼采
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这是您要问的吗？mathoverflow.net/questions/48006/…–

— Andrej Bauer

是的，但是您必须考虑类型组合器。也就是说，您需要为和以下类型模式：其中和是可以在每次使用时实例化为任何具体类型的元变量。 $S$ $K$

\begin{array}{lcl} ķ & ： & 一种 \to 乙 \to 一种 \\ 小号 & ： & （ 一种 \to 乙 \to C ） \to （ 一种 \to 乙 ） \to （ 一种 \to C ） \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$

然后，你要的类型添加自然数到类型的语言，并添加以下组合子： $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} ž & ： & ñ \\ s ü C C & ： & ñ \to ñ \\ 一世 Ť Ë [R & ： & ñ \to （ ñ \to ñ ） \to ñ \to ñ \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

为补充的平等规则是：

\begin{array}{lcl} 一世 Ť Ë [R 一世 F ž & = & 一世 \\ 一世 Ť Ë [R 一世 F （ s ü C C Ë ） & = & F （ 一世 Ť Ë [R 一世 F Ë ） \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

\begin{array}{lcl} 一世 Ť Ë [R & ： & 一种 \to （ 一种 \to 一种 ） \to ñ \to 一种 \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

$\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} p [R Ë d^{'} & = & λ ķ 。 一世 Ť Ë [R （ ž ， ž ） （ λ （ ñ ， ñ^{'} ） 。 （ s ü C C ñ ， ñ ） ） ķ \\ p [R Ë d & = & λ ķ 。 s ñ d （ p [R Ë d^{'} ķ ） \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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那么，由于对类型化组合器的限制，这比图灵完备还小吗？类型变量可以（递归地）表示类型变量上的函数吗（例如，对于某些类型D和E，A = D-> E）？

— NietzscheanAI 2013年

S

$S$

K

$K$

尼尔，谢谢。我是否认为可以通过教堂数字编码以S和K表示z，succ和iter是正确的吗？

— NietzscheanAI 2013年

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@Xoff：前置函数具有众所周知的线性时间定义iter。这可能是在cs.stackexchange.com问题的对象...

— 科迪