-tree 的正确定义是什么？

如标题所示， -tree 的正确定义是什么？有几篇论文讨论了树和部分树作为具有有限树宽的图的替代定义的方法，我见过许多看似不正确的定义。例如，至少一个位置将 -tree 定义如下：ķ ķ $k$$k$$k$$k$

当且仅当是具有个顶点的完整图，或者具有度为的顶点使得是树时，才将图称为树。的部分 -tree是任子图 -tree。G k G v k − 1 G ∖ v k k $k$$G$$k$$G$$v$$k − 1$$G \setminus v$$k$$k$$k$

根据此定义，可以创建以下图形：

1. 开始具有边缘，一个 -树。$(v_1, v_2)$$2$
2. 对于，创建一个顶点并将其与和相邻。v i v i − 1 v i − $i=1\ldots n$$v_i$$v_{i-1}$$v_{i-2}$

这样做会创建一条带对角线的平方的带。同样，我们可以从第一个正方形开始在与上面的条带正交的方向上创建一个带。然后，我们将拥有网格的第一行和第一列。通过创建顶点并将其连接到其上方和左侧的顶点，可以轻松地填充网格。n × $n$$n \times n$

最终结果是一个包含网格的图，该网格实际上已知为树宽。$n\times n$$n$

树的正确定义必须如下：$k$

的图形称为一个 -tree当且仅当任一是一个完全图顶点或具有顶点与度，使得邻居形成 -clique，和是一个树G k G v k − 1 v k G v $k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$$k$$G \ v$$k$

然后，不能创建如上所述的网格状图。

我对么？

我基本上同意您的看法，只是做了一些小改动：

的曲线图是一个 -tree当且仅当任一是具有一个完全图的顶点，或具有顶点，使得的（打开的）邻域形成 -clique，和是一个树$G$$k$$G$$k+1$$G$$v$$v$$k$$G - v$$k$

换句话说，在定义中应该具有度，而不是。$v$$k$$k-1$

我个人更喜欢自下而上的定义，但这只是一个问题：

• 在个顶点上的完整图是一个树。$k+1$$k$
• 甲 -tree与顶点（）可以由构造 -tree与通过添加邻近的顶点到顶点准确形成一个顶点在-clique。$k$$G$$n+1$$n\ge k+1$$k$$H$$n$$k$$k$$H$
• 没有其他图是树。$k$

该定义是Pinar Heggernes讲义中定义的略微修改版本。