顶点分离器的硬度

对于给定的图，“分离器问题”询问是否存在小基数（或权重）的顶点或边集，其移除分区成为两个大小相等的不相交的图。当删除的集是顶点集时，这称为“顶点分离器问题”；当它是边缘集时，这称为“边缘分离器问题”。对于一般的非加权图，这两个问题都是NP完全的。近似顶点分隔符的最知名硬度是多少？是否排除了PTAS？在定向设置中最知名的硬度结果是什么？$G$$G$

更正：以下链接和答案对我没有帮助，因为我没有正确说明我的问题。我的问题与Leighton-Rao的以下定理有关：

定理：存在，给定的曲线的多项式时间算法和一组，发现一个顶点分离器的在尺寸的，其中是一个的最小尺寸的-点隔板在。w ^ ⊆ V $G(V,E)$$W \subseteq V$小号⊆Vw ^g ^Ö（瓦特。登录Ñ）瓦特$\frac{2}{3}$$S \subseteq V$$W$$G$$O(w.{\log}n)$$w$ w ^$\frac{1}{2}$$W$$G$

给定一个图和一个集合，我想找到一个\ delta -vertex分隔符（其中\ frac {1} {2} \ leq \ delta \ leq 1是一个常数）瓦特，其中瓦特是一个的最小尺寸\压裂{1} {2}的-点隔板W¯¯在ģ。这个问题最有名的硬度是多少？上面的定理给出了这个问题的O（{\ log} n）近似值。w ^ ⊆ V $G(V,E)$$W \subseteq V$$\delta$瓦特瓦特$\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$$w$$w$ WGO（logn$\frac{1}{2}$$W$$G$$O({\log}n)$

请注意，在移除分离器之后，我允许对生成的组件的大小进行常数分解，但是我想最小化分离器本身的大小。注释中提到的链接指向最小b顶点分隔符，其中我们坚持认为所得分量的大小最大为$|V|/2$。

在边设置中，您要指的问题是平分问题，这种最小边的大小称为平分宽度。关于这个问题有大量研究，最著名的近似方法是Racke的。$O(\log n)$

在最近的一篇有关 Krauthgamer，Naor和Schwartz 对等分宽度的归纳的论文中，对有关该问题的已知工作（涉及最稀疏的切分，传播指标甚至独特的游戏猜想）进行了很好的回顾。

分隔符问题的逼近度与均匀稀疏割问题的逼近度密切相关。一个通过Arora的饶-瓦齐拉尼改善所获得的近似-因子O（logn$O(\sqrt{\log n})$$O(\log n)$礼顿和饶 他们这样做是为了边缘情况。Agrawal-Charikar-Makarychev-Makarychev使用该结果获得有针对性的最稀疏割的相似边界（如果对顶点分割割感兴趣）。同时，Feige-Hajiaghayi-Lee通过ARV对于顶点分隔符再次获得了相似的界线（并且还指出树宽可以在相同因子内近似）。应该注意的是，有向图中还有一个最稀疏的概念，即Chuzhoy-Khanna在非均匀情况下显示出硬度结果，但我不确定均匀情况下的情况。我认为超恒定硬度结果以UGC下（均匀）稀疏切割而闻名，但我不确定。