教会定理和哥德尔不完备定理

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最近，我一直在阅读各种逻辑学家和数学家就可计算性所做的开创性工作的一些想法和历史。尽管各个概念对我来说很清楚，但我正在设法牢牢把握它们之间的相互关系和抽象层次。

我们知道，丘奇定理（或者说是阿隆佐·丘奇和艾伦·图灵对希尔伯特的Entscheidungsproblem的独立证明）证明，一般而言，我们无法计算形式系统中给定的数学陈述是对还是错。据我了解，Church-Turing论文非常清楚地描述了Church的lambda演算与Turing机器之间的等价性（同构），因此我们有效地建立了统一的可计算性模型。（注意：据我所知，图灵的证明利用了暂停问题无法确定的事实。如果我错了，请纠正我。）

现在，哥德尔的第一个不完全性定理指出，在一个具有足够算术能力的一致形式系统中，并非所有陈述都可以在该系统中得到证明或被证明（确定）。在许多方面，我认为这对我来说与丘奇定理完全相同，因为考虑到lambda微积分和Turning机器都是有效的形式系统！

但是，这是我的整体解释，我希望有人可以对细节有所了解。这两个定理有效等效吗？是否有任何细微之处值得观察？如果这些理论本质上以不同的方式看待相同的普遍真理，那么为什么要从不同的角度来对待呢？（戈德尔的证明和教会的证明之间大约有6年的时间）。最后，我们是否可以说形式系统中的可证明性概念（证明演算）与递归理论中的可计算性概念（图灵机/λ演算）相同？

lo.logic computability turing-machines

— 诺多林
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您对“教会转变论”的观点不太正确。λ演算和图灵机都已正式指定。Church-Turing的论点是，我们可以合理地称为计算的任何事情都可以在Turing机器上执行（或在lambda演算中，或任何等效方法）。由于没有人提出例外情况，因此它已被普遍接受，但显然无法证明。

— David Thornley，2010年

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在谈论这些事情时，请小心。例如，您说过：“哥德尔的第一个不完备性定理指出，并非一致的形式系统中的所有陈述都可以在该系统中得到证明”。这是垃圾。如果系统是一致的，则陈述1 = 0是不可证明的。您要说的是，一个正式的系统（满足这样的条件）不能决定所有的句子。

— Andrej Bauer 2010年

@David Thornley：谢谢你的指正。因此，λ演算与图灵机之间的等价性已得到正式证明（由另一个答案判断的Kleene定理），但Church-Turing命题更像是一个有很多支持证据但没有实际证据的假设。

— Noldorin

@Andrej：如果我将“ proven”更改为“ proved or disproven”，将“形式系统”更改为“具有足够算术能力的形式系统”，那么我肯定是正确的。

— Noldorin 2010年

2

@Andrej：对。但是，请不要暗示这是某种犯罪。对于试图学习的人（甚至是有经验的学者）来说，错误是不可避免的，将所有事情都完美无瑕地写下来并不是他们的工作！

— 诺多林

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首先，我建议您阅读克莱恩（Kleene）的“数学”作为有关这些主题的好书。奥迪夫雷迪的“经典递归理论”第一卷的前两章也有助于理解这些概念之间的关系。

我们知道，丘奇定理（或者说是阿隆佐·丘奇和艾伦·图灵对希尔伯特的Entscheidungsproblem的独立证明）证明，一般而言，我们无法计算形式系统中给定的数学陈述是对还是错。

我认为您是指丘奇定理，即一阶逻辑定理的集合是不可确定的。重要的是要注意该语言是一阶的。

据我了解，Church-Turing论文非常清楚地描述了Church的lambda演算与Turing机器之间的等价性（同构），因此我们有效地建立了统一的可计算性模型。

不可以。如果lambda可计算性和图灵可计算性是 Kleene的定理。这不是论文。它被视为支持教会论点的证据。

注意：据我所知，图灵的证明利用了暂停问题无法确定的事实。如果我错了纠正我。

现在，哥德尔的第一个不完备性定理指出，并非一致形式系统中的所有陈述都可以在该系统中得到证明。在许多方面，我认为这对我来说与丘奇定理完全相同，因为考虑到lambda微积分和Turning机器都是有效的形式系统！

第哥德尔定理指出，对于每一个 -consistent，递归可枚举该理论包含了足够的算术，还有一个句子 ST 和 $\omega$ $\varphi$ $\varphi$ $\lnot \varphi$ 不是它可证明。

这没有说明同一件事。它没有说关于该理论的定理是不确定的。

但是，这是我的整体解释，我希望有人可以对细节有所了解。这两个定理有效等效吗？是否有任何细微之处值得观察？如果这些理论本质上以不同的方式看待相同的普遍真理，那么为什么要从不同的角度来对待呢？（戈德尔的证明和教会的证明之间大约有6年的时间）。

多年来，Godel定理（和类似定理）被大量滥用。在解释它们时，应该非常小心。据我所知，滥用通常是由于忘记提及定理中的某些条件或将定理与其他一些信念相结合而造成的。仔细观察表明，这些定理虽然相关，但并不等效。

最后，我们是否可以说形式系统中的可证明性概念（证明演算）与递归理论中的可计算性概念（图灵机/λ演算）相同？

我不明白您所说的“相同”是什么意思。当然，可计算性和可证明性之间存在许多关系。如果您弄清楚这些相同是什么意思，我也许可以发表更有益的评论。

更新

让我们以算术语言考虑一组格式正确的句子。令为满足第一不完全性定理条件的理论（的公理）。让是该组中的理论的定理的和是该组的句子，其是否定的定理的。设是标准模型中正确的句子集合，而 $L$ $T$ $Thm(T)$ $T$ $\lnot Thm(T)$ $T$ $True$ $False$ 错误句子集。一个句子是当且仅当它的否定是。还每一个句子是真或假，即，。 $True$ $False$ $L = True \cup False$

哥德尔不完备定理指出是的适当子集。因此，标准模型的真实性和中的可证明性是不同的。 $Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$ $L$ $T$

$Thm(T)$ $Thm(T)$

关于形式系统中的可证明性与可计算性之间的关系。一个是以下内容：如果系统有效，则其中的可派生表达式集为re，并且系统是语法的特例。语法是定义可计算概念的另一种方式，等效于图灵机可计算性。

— 卡韦
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感谢您的回答。我指的是维基百科页面上提到的丘奇定理：“分别在1936年和1937年，阿隆佐·丘奇和艾伦·图灵[1]发表了独立论文，表明无法用算法确定算术语句是对还是错。结果是现在被称为教堂定理或教堂-图灵定理（不要与教堂-图灵论题相混淆）。”。我也要为“教堂－图灵”论点的修正加油打气。那您是否同意戴维·桑利对我的问题的评论？

— Noldorin

关于戈德尔的第一个不完全性定理的描述，我完全接受您的（更精确的）定义，尽管它不等于我对马克·哈曼答案的评论/评论中的更正版本吗？最后，有什么方法可以具体说明这些定理之间如何精确地联系在一起，尽管它们并不相等？

— Noldorin

哦，关于我的“相同”的含义。也许您可以修改以下陈述，使之正确（添加必要的条件/注意事项）：在一致的形式系统中，任何有效的证明都可以由图灵机中的可计算函数来表示吗？

— Noldorin

该理论应重新进行，否则不完全性定理将不成立。（接受标准模型中的所有真实句子，它满足所有其他条件。）我将在答案中添加一个更新。

— 凯夫

“在一个统一的形式系统中，任何有效的证明都可以由图灵机中的可计算功能来表示吗？” 我不明白您所说的“代表”是什么意思。证明只是符号的有限字符串。

— 卡韦

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我们是否可以说形式系统中的可证明性概念（证明演算）与递归理论中的可计算性概念（图灵机/λ演算）相同？

这些非常相似，但不完全相同，因为证明演算中的某些步骤可能表示不可计算的运算。

例如，您可以让一个证明助理来验证 $ZFC$ 证明自然的力量 $\wp(N)$ 存在，这将是一个简短的证明，它包含两个步骤（无穷大公理，然后是Powerset大公理），但是这些步骤本身都不是可计算的。

同样，哥德尔的完备性定理告诉我们，一阶逻辑中的任何有效公式都具有证明，但是Trakhtenbrot定理告诉我们，在有限模型上，一阶公式的有效性是不确定的。

因此，有限证明不一定与可计算运算相对应。

— 马克·哈曼
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感谢您的回答。因此，请澄清一下，示例中的那些步骤究竟是不可计算的-我应该从什么意义上说？澄清一下，当我说证明是可计算的时，我的意思是推理规则是可计算的……（还有其他思考方式吗？）

— Noldorin

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该自然集是递归可枚举的，但是尝试生成所有自然集的尝试显然不会终止，因此它不是严格可计算的。自然的幂集甚至不是递归可枚举的，并且它的大多数元素也不是递归可枚举的，因此它的可计算量“甚至更少”。

— 马克·哈曼

关于如何思考这个问题，您的另一个问题是棘手的，范围比我认为合适的更大。只需说一下，如果您认为具有可计算推理规则的不可计算的步骤是可计算的，那么通过简单地假设一个假设的公断定理就可以计算出停顿问题。似乎在欺骗我。;-)

— 马克·哈曼

@Marc：我目前正在阅读的书说，所有自然数的集合都是可计算的，因为如果您向图灵机输入n，则该机器可以输出第n个自然数。实际上，功率集不能由图灵机计算。

— Noldorin

另外，我不确定我是否完全遵循您的假设，即假设停止公理...图灵机没有“轴心”，可以这么说吗？我认为我仍然需要确信“正式系统中的所有有效证明都是可计算的证明”是不正确的。这让我觉得直觉上是正确的。

— Noldorin

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尽管这不是您要问的问题，但它是一样的，希望您（和您问题的其他读者）会发现它有趣。您绝对应该阅读Curry-Howard对应关系，其中指出，程序的类别在特定意义上与构造证明的类别同构。（这是在与其他答案不同的级别上讨论证明和可计算性。）

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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绝对...我知道Curry-Howard的对应关系，但不想提出这个问题并使问题进一步复杂化。感谢您指出这一点。我不太确定这是我要寻找的链接，还是比我想看到的更严格/更狭窄。您如何看待，在这里有什么需要澄清的吗？

— Noldorin's

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简而言之，我将尝试从您的角度回答您的问题；我还试图以不同的方式关联两个定理。

哥德尔的第一个不完备性定理指出，在一个具有足够算术能力的一致形式系统中，存在一个陈述P，使得不存在任何证明或否定证明。这并不意味着没有针对该理论定理的决策算法，这也将说明P或P都不是定理。Church-Turing定理的结果表明，这种算法不存在。这也是卡夫（Kaveh）回答的核心，我希望可以更清楚地解释它。

现在，我将尝试证明Church-Turing定理暗示了Gödel定理，请向我解释在哪里以及如果我错了。定理Thm的集合是部分可确定的，并且假设R是识别该定理的程序（即，如果输入在Thm中，则以“是”暂停，否则继续运行）。让我们用它来构建一个新算法：给定一条语句Q，以查看它是否可证明，通过对它们的执行进行交织，并在它们中的第一个停止时停止运行，并在“ Q”而不是Q上并行运行R，如果出现则“否”证明“不是Q”，否则为“是”；这给出了可计算的算法。假设所有语句都可以被证明或被证明是矛盾的，那么该算法将解决Entscheidungs问题，但这很荒谬！因此，必须有一个声明可以

— 布莱索莱德
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