数字字段分解的复杂性

对于一般数字字段中的因式分解整数的计算复杂度了解多少？进一步来说：

在整数上，我们通过其二进制扩展表示整数。一般数字字段中整数的类似表示是什么？
是否知道素数域中的素数在P或BPP中？
分解数字字段的最著名算法是什么？（和（显然）算法是否从扩展？）在这里，分解是指找到某个数字的表示形式（用位表示），如下所示：素数的乘积。 $\exp \sqrt n$ $\exp n^{1/3}$ $\mathbb{Z}$ $n$
在数字字段中找到整数的所有因式分解的复杂度是多少？算上它有多少个不同的分解？
在，已知确定给定数字是否在区间具有因数是NP难的。在数字字段中的整数环上，是否可能会发现是否存在一个范数在一定间隔内的素数已经是NP难的？ $\mathbb{Z}$ $[a,b]$
是否在BQP中考虑数字字段？

言论，动机和更新。

当然，分解在数字字段上不是唯一的事实在这里至关重要。这个问题（尤其是第5部分）是由有关GLL的博客文章（请参见此注释）以及这个较早的TCSexchange问题引起的。我还在博客上展示了它，Lior Silverman 给出了详尽的答案。

cc.complexity-theory nt.number-theory comp-number-theory

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
source

能给我举个例子吗？defn字段中的分解与直接整数分解有何不同？

— vzn

对于（0）：我想通常将数字字段表示为，其中是不可约多项式。然后，的元素是成对的元组，其中。这意味着您的元素是。

K

$\mathbb K$

Q [ξ] / ⟨ φ ⟩

$\mathbb Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$

φ

$\varphi$

K

$\mathbb K$

((n_{0}, d_{0}), (n_{1}, d_{1}), \dots, (n_{δ - 1}, d_{δ - 1}))

$((n_0,d_0),(n_1,d_1),\dotsc,(n_{\delta-1},d_{\delta-1}))$

δ = \deg (φ)

$\delta=\deg(\varphi)$

n_{0} / d_{0} + n_{1} ξ / d_{1} + \dots + n_{δ - 1} ξ^{δ - 1} / d_{δ - 1}

$n_0/d_0+n_1\xi/d_1+\dotsb+n_{\delta-1}\xi^{\delta-1}/d_{\delta-1}$

— 布鲁诺

@吉尔你看过这本书吗？ springer.com/mathematics/numbers/book/978-3-540-55640-4目前我无法访问我的副本（尽管几天后我会再次访问，并将对此进行检查）。我想看看是否有什么在（我）代数数领域写过分解，或（ii）戴德金域，带班人数> 1

— 丹尼尔APON

@vzn：不用在吉尔的嘴里说些什么，我很确定他是指理性的有限扩展（正是您所链接的）。当他说“在这样的字段中分解”时，我很确定他的意思是在这样的字段的整数环中分解。您链接到的同一Wikipedia页面上的代数数字字段中有一个整数环部分。

— 约书亚·格罗肖

@vzn数字字段筛选器使用数字字段分解整数。

— Yuval Filmus

Answers:

以下答案最初是作为评论发布在Gil的博客上的

（1）设是一个数域，其中我们假定具有首一最小多项式。然后，可以将整数的环的元素表示为或以整数为基础的多项式-两者是等效的。 $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ $\alpha$ $f\in\mathbb{Z}[x]$ $\mathcal{O}_K$ $\alpha$

现在将固定为（1），从多项式到的问题到的问题都有多项式时间的减少。为了验证可以在多项式时间内完成计算（例如，将理想值与相交或分解多项式mod ），请参见先前答案中提及的科恩书。 $K$ $K$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$ $p$

作为除以的判别式（即的判别式）的每个有理素数的预计算，找到所有素数都位于之上。 $p$ $\alpha$ $f$ $\mathcal{O}_K$ $p$

（2）对于素性测试，给出一个理想的让是使得（这可在多项式时间内计算和的比特数是多项式的输入）。检查多项式时间是否为质数。如果没有 $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$ $p\in\mathbb{Z}$ $\mathfrak{a}\cap\mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$ $p$ $p$ 不是素数。如果是，那么发现的素数躺在上面无论是从预先计算或保模。在任何情况下，如果是质数，则它必须是这些质数之一。 $\mathfrak{a}$ $\mathcal{O}_K$ $p$ $f$ $p$ $\mathfrak{a}$

（图3a），（6A）为分解成质数，给定的理想发现其范数。同样，这可以在多项式时间内找到，因此不会太大。的因子（传统上或使用Shor算法，具体取决于所需的减少量）。这给出了除以的有理素数的列表，因此，如2中所示，我们可以找到除以的的素数的列表。由于 $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$ $y = N^K_\mathbb{Q}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]$ $y$ $\mathbb{Z}$ $y$ $\mathcal{O}_K$ $y$ 这给了素数除以列表。最后，很容易确定素数将给定理想除以的指数。 $\mathfrak{a} | y\mathcal{O}_K$ $\mathfrak{a}$

（3b），（6b）但Gil希望将分解分解为不可约数，而不是素数。事实证明，给定的素因式分解，可以有效地将一个因式分解构造为不可约元素。为此，令为类别编号，并注意可以有效地计算给定理想的理想类别。现在找到的不可约除数，从的因式分解中选择素理想（可能是重复的） $x\mathcal{O}_K$ $x$ $\mathcal{O}_K$ $h_K$ $x$ $h_K$ $x$ 。根据鸽子洞原则，其中一些子集会与班级组中的同一性相乘。找到一个最小的子集。这样，它的乘积就是由不可约元素产生的主要理想。将除以该元素，从分解中删除相关的理想值，然后重复。如果分解的元素少于则仅取所有因子的最小子集。 $x$ $h_K$

（4）我认为可以将因式分解计算为不可约式，但这是一些额外的组合运算法则-请给我时间来解决。另一方面，在次指数分解算法的背景下，确定所有参数都不是一件有趣的事情，因为一般而言，指数分解的次数很多。

（5）我不知道。

— 里尔·西尔伯曼
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正如Daniel所提到的，您可以在“计算代数数论课程 ”一书中找到一些信息（链接）。

特别是，有几种表示数字字段元素的方式。设是多个与现场一个度- 的首一不可约多项式。令为任意根。所谓的标准表示一个元件的是元组其中， $K=Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$ $\varphi$ $n$ $\mathbb Z[\xi]$ $\theta$ $\varphi$ $\alpha\in K$ $(a_0,\dotsc,a_{n-1},d)$ $a_i\in\mathbb Z$ 且 $d>0$ ，使得 $\gcd(a_0,\dotsc, a_{n-1},d)=1$

α = \frac{1个}{d} \sum_{一世 = 0}^{ñ - 1个} {一种}_{一世} θ^{一世} 。

$\alpha=\frac{1}{d} \sum_{i=0}^{n-1} a_i\theta^i.$

— 布鲁诺
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