“边缘或孤立顶点”删除游戏的获胜策略

这个在图表上玩的完美信息游戏是否已知/研究过？

给定一个图 $G= (V,E)$ ，两个玩家交替选择一条边或一个孤立的节点。如果玩家选择边缘 $e = (u,v)$ 则两个节点 $u$ 和 $v$ 及其入射边缘将被删除。如果玩家选择一个孤立的节点，则删除该节点。第一个无法移动的玩家将输掉比赛。

寻找获胜者的复杂性是什么？

是否有提及类似游戏的内容？

reference-request combinatorial-game-theory

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
source

我假设孤立的节点被删除（如果选择）？如果是这样的话，玩家0会通过将问题细分为两个相等的分量的第一步，然后镜像对手在相反分量上的移动来保持同构，从而在所有非空路径上获胜。这意味着玩家1在一个周期中获胜，因为第一步是将问题减少到一条路径上。

— Yonatan N

@YonatanN：是的，可以选择（和删除）隔离的节点；但是模拟策略适用于长度相等的路径（玩家0首先选择2个中心节点，然后镜像玩家1的动作），而不适用于奇数长度的路径：尝试将策略应用于长度为10的路径11，并且不起作用（实际上，获胜者是玩家1，路径长度为11）。

— Marzio De Biasi 2013年

@Marzio De Biasi：对不起，但是当我玩不错的游戏时，我通常会手工玩。除非我犯了错误，否则玩家0确实有制胜法宝：观察：a）对于P1，P2，P5和P8，玩家0总是获胜。b）对于P3和P7，玩家1总是获胜。c）对于P4和P6，玩家0可以决定赢还是输。现在在P11的情况下：-用v1，v2，... v11编号P11的节点。-玩家0占据了边缘v9，v10，其余是孤立的节点v11和P8。如果玩家1取得v11，则玩家0将获胜，因为他的路径是偶数。否则，玩家0将通过a），b）和c）获胜。

— user13136 2013年

根据我的程序，n≤100的值（使第一个玩家在具有n个顶点的路径上输掉游戏）的值为3、7、23、27、37、41、57、61、71、75、91和95.不幸的是，除了奇数（我已经知道）以外，我没有看到其他任何模式，并且OEIS没有显示任何匹配项。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@TsuyoshiIto：...采用成对差异：（3 7）（23 27）（37 41）（57 61）（71 75）（91 95）然后您得到4 4 4 4 4 4 ...模式:-) ....（3 ... 23）...（37 ... 57）...（71 ... 91）然后您得到20 20 20 ...另外一个！:-D

— Marzio De Biasi 2013年

我将更新发布为自我回答，只是为了使其与问题（仍处于打开状态）不同。

如评论所示（感谢伊藤刚），该问题对于路径是多项式时间可解的：

$Win(P_n) = 1$ $(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

从0开始，nim值的（计算的）序列是周期性的：

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

我没有进行严格的数学证明，但想法是：

$Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

$(34-2-x) \bmod 34$

$x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

对于x = 0..33，所得的mex序列等于重复序列：

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

$rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$ $j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

$x=16$ $x=33$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$ $mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

$(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
source

P_{23}

$P_{23}$

W i n (P_{n}) = 1

$Win(P_n)= 1$

(n \mod 34) \in {3, 7, 23, 27}

$(n \mod\, 34) \in \{3, 7, 23, 27\}$

@ user13136：您检查了nim值吗？对于，nim值为0（我用不同的程序获得了Tsuyoshi的相同值，但也许我们都错了）。

P_{23}

$P_{23}$

— Marzio De Biasi

我认为您的程序中可能存在的缺陷可能是忽略了，在这种情况下，第一个玩家总是输掉。如果需要的话，我们现在可以播放案例。

P_{0}

$P_0$

P_{23}

$P_{23}$

— user13136 2013年

抱歉，我现在必须离开。

— user13136 2013年

(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})

$(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})$ （您可以删除包含这些举动的先前评论）

— Marzio De Biasi