NC = P后果？

复杂度动物园在EXP的条目中指出，如果L = P，则PSPACE = EXP。由于Savitch的NPSPACE = PSPACE，据我所知，潜在的填充参数扩展为显示

(NL = P) \Rightarrow (PSPACE = EXP) .

$(\text{NL} = \text{P}) \Rightarrow (\text{PSPACE} = \text{EXP}).$ 我们也知道使L

\subseteq

$\subseteq$ NL

\subseteq

$\subseteq$ NC

\subseteq

$\subseteq$ 通过Ruzzo的资源界的交流层次P上。

如果NC = P，是否遵循PSPACE = EXP？

理查德·利普顿（Richard Lipton）的精神对问题的另一种解释：难道P中的某些问题不能并行化，而不是指数时间过程不需要多项式空间吗？

我也会对NC = P的其他“令人惊讶”的后果（越不可能越好）感兴趣。

编辑：赖安的答案引出了另一个问题：已知能保证PSPACE = EXP的最弱假设是什么？

W.萨维奇。非确定性和确定性磁带复杂性之间的关系，计算机与系统科学学报4（2）：177-192，1970。
WL Ruzzo。关于统一电路的复杂性，计算机与系统科学学报22（3）：365-383，1971年。

编辑（2014）：更新了旧的Zoo链接，并添加了所有其他类的链接。

cc.complexity-theory conditional-results

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

因为我确定我不是唯一不知道什么是NC的人，所以这里是一个链接：en.wikipedia.org/wiki/NC_%28complexity%29

— Emil 2010年

@Andras：您可能已经知道但尚未提及的另一个结果是，由于

在

归约下存在完全问题，因此

等级将崩溃。

N C

$\mathsf{NC}$

P

$\mathsf{P}$

L

$\mathsf{L}$

— 约书亚·格罗夫

Answers:

是。可以看作是交替的图灵机所识别的语言类别，这些图灵机使用空间和时间。（这是Ruzzo首次证明的。）是交替的图灵机使用空间但最多占用时间的类。为简便起见，我们将这些类称为 $NC$ $O(\log n)$ $(\log n)^{O(1)}$ $P$ $O(\log n)$ $n^{O(1)}$ 和。 $ATISP[(\log n)^{O(1)},\log n] = NC$ $ASPACE[O(\log n)] = P$

假设两个类相等。用上面的替换（即，应用标准翻译引理），得到 $n$ $2^n$

。 $TIME[2^{O(n)}] = ASPACE[O(n)] = ATISP[n^{O(1)}, n] \subseteq ATIME[n^{O(1)}] = PSPACE$

如果然后为好，因为有在-complete语言。 $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP = PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

编辑：虽然上面的答案可能更具教育意义，但这是一个更简单的论点：已经遵循“ 包含在polylog空间中”和标准翻译的原则。 $EXP = PSPACE$ $P$ 注意“ 包含在多对数空间中”是一个比弱得多的假设。 $P$ $NC = P$

更多详细信息：由于电路系列的深度为某个常数，因此每个此类电路系列都可以在空间中求值。因此。所以意味着 $NC$ $(\log n)^c$ $O((\log n)^c)$ $NC \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $P = NC$ 。施加转换（替换与）意味着。存在一种语言，从而证明了这一论点。 $P \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $n$ $2^n$ $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

$EXP=PSPACE$ $c$ $n^{O(\log^c n)}$ $poly(n)$ $n$ $n$ $NE = E$ $NP$ $P$ $n^{O(\log^c n)}$ $PSPACE=EXP$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
source

S T A (f, g, h)

$STA(f,g,h)$

f

$f$

g

$g$

h

$h$

NC = S T A (\log n, *, (\log n)^{O (1)})

$\text{NC} = STA(\log n, {*}, (\log n)^{O(1)})$

P = S T A (\log n, *, *)

$\text{P} = STA(\log n, {*}, {*})$

N C = S T A (\log n, (\log n)^{O (1)}, *)

$NC = STA(\log n, (\log n)^{O(1)}, *)$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

我们需要的是一种lubresmonkey脚本，该脚本会自动将诸如“ \ NP”之类的内容链接到动物园中的条目。

— Suresh Venkat

（我已经看到了Ryan的答案，但我只是想提供另一种观点，该观点太长了，无法放入评论中。）

$L = P \Rightarrow PSPACE = EXP$

同样，当NC被指数炸毁时，您会得到PSPACE。我喜欢在电路方面看到这一点：NC是具有多对数深度的多项式大小的电路。当爆炸时，它变成具有多项式深度的指数大小的电路。可以证明，只要添加了适当的均匀性条件，它就是PSPACE。我想如果NC是用L均匀性定义的，那么它将得到PSPACE均匀性。

证明应该很容易。在一个方向上，采用TSPF之类的PSPACE完全问题，并使用具有指数大小的AND和OR门来表达量词。在另一个方向上，尝试递归遍历多项式深度电路。堆栈大小将是多项式，因此可以在PSPACE中完成。

最后，当我看到问题时（以及在阅读Ryan的答案之前），我想到了这个论点，因此可能存在错误。请指出。

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
source

一种更正：NC具有多项式大小和polylog深度的电路，但这仍然只是转换后的多项式深度。

— 瑞安·威廉姆斯

@Ryan：你是对的。我会解决的。

— 罗宾·科塔里

从模拟时空有界交替图灵机的角度来看，这里有一些详细信息。

$P = NC$

$NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

P = A T I S P ((\log (n))^{O (1)}, O (\log (n))) .

$P = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))).$

$LinU$ $M$ $x$ $n$ $M$ $x$ $n$

$LinU \in P$ $c$

(*) L i n U \in A T I S P (\log^{c} (n), c \log (n)) .

$(*) \; LinU \in ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

(1) D T I M E (n) \subseteq A T I S P (\log^{c} (n), c \log (n)) .

$(1) \; DTIME(n) \subseteq ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

(2) D T I M E (n^{k}) \subseteq A T I S P (k^{c} \log^{c} (n), k c \log (n)) .

$(2) \; DTIME(n^k) \subseteq ATISP(k^c\log^c(n), kc\log(n)).$

(3) D T I M E (2^{n^{k}}) \subseteq A T I S P (k^{c} n^{k c}, k c n^{k}) .

$(3) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq ATISP(k^cn^{kc}, kcn^{k}).$

A T I S P (\log^{c} (n), c \log (n)) \subseteq D S P A C E (O (\log^{c + 1} (n))) .

$ATISP(\log^c(n), c\log(n)) \subseteq DSPACE(O(\log^{c+1}(n))).$

$k$

(2^{*}) D T I M E (n^{k}) \subseteq D S P A C E (k^{c + 1} \log^{c + 1} (n))

$(2^{*}) \; DTIME(n^k) \subseteq DSPACE(k^{c+1}\log^{c+1}(n))$

(3^{*}) D T I M E (2^{n^{k}}) \subseteq D S P A C E (n^{k (c + 1)}) .

$(3^{*}) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq DSPACE(n^{k(c+1)}).$

$(3^{*})$ $EXP = PSPACE$

====================思想后===================

$P = NC$

A T I S P ((\log (n))^{O (1)}, O (\log (n))) = A T I S P (\log^{c} (n), O (\log (n)))

$ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))) = ATISP(\log^c(n), O(\log(n)))$

c

$c$

欢迎任何评论或更正。:)

— 迈克尔·韦哈
source

N C^{k} ⊊ P S P A C E

$NC^k\subsetneq PSPACE$

k

$k$

N C^{2} ⊊ P S P A C E

$NC^2\subsetneq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

@MichaelWehar我不知道，但是我从未见过。实际上，在cstheory.stackexchange.com/questions/39046/…中的评论说，是可能的。我已经在cstheory.stackexchange.com/questions/40689/…中发布了一个澄清查询。您认为可以看看吗？

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

P - u n i f o r m N C^{1} = P S P A C E

$P-uniform NC^1=PSPACE$

— T ....

@Turbo非常感谢您的友好答复！！这可能取决于制服的种类。例如，仅适用于Logspace统一的NC。让我考虑一下，然后再回覆您。:)

N C = A T I S P ((\log (n))^{O (1)}, O (\log (n)))

$NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

— Michael Wehar

@Turbo谢谢您的跟进！我真的觉得你应该在370页的从底部看的定义：sciencedirect.com/science/article/pii/0022000081900386

— 迈克尔Wehar

@Turbo感谢您的后续跟进！！我强烈建议您阅读我链接的论文，因为在该论文中，它表示大多数统一概念都是等效的。但是，本文没有考虑均匀，因为我无法证明它是相同的，所以可能会有所不同。

N C

$NC$

P

$P$

N C

$NC$

— Michael Wehar