在

考虑一个电路，该电路以输入数字作为输入 $[0,1]$ ，并且其门由函数 $\max(x, y)$ ， $\min(x, y)$ ， $1 - x$ 和 $\frac{x+y}{2}$ 。电路的输出也就是 $[0,1]$ 。

有谁知道是否已经研究过该模型或紧密相关的模型？

具体来说，我正在尝试解决该电路的可满足性问题，即计算该电路可以达到的最大值（实际上它达到了最大值，因为它表示紧凑域中的连续函数）。

备注：我对模型的研究是通过加权时间逻辑进行的，因此与后者相关的任何模型也可能派上用场。

arithmetic-circuits

— 鲨鱼
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当然，这个问题很难解决。（通过可满足性：您具有

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$ 和

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$ ，您可以用它们进行AND，OR或NOT运算。）那么，您的问题是这个问题不是在NP中吗？这样的电路是否具有产生值1的输入的决定问题似乎在NP中，因为如果存在这样的输入，则存在一个0/1。

— Neal Young，

如果我们不确定地选择的可能真值之一，其中是所有节点对，因此或节点出现在在电路中，这变成了线性规划问题，可以在P中解决。因此，原始最大化问题的决策版本在NP中。（这是Łukasiewicz逻辑中可满足性问题的一种变体，因此您可能需要阅读《数学模糊逻辑手册》中的Haniková章节，以获取相关信息。）

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

— EmilJeřábek13年

@Shaull：让我更详细地描述它。令为最小或最大门电路的节点（此处以电路的大小为界），令和为门的输入节点。对于每个，选择一个附加约束或。有这样的选择。当这样的选择是固定的，则可以通过更换简化电路与或

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$ 在适当情况下，因此它变成一个线性方程组，其变量是问题的原始变量，以及对应于...的其他变量

— EmilJeřábek2013年

...电路中的节点。包括表示不满足额外约束条件的不等式，将原始变量限制为的不等式以及表明输出节点具有值的不等式。然后，这是一个线性程序，取决于额外约束的选择，并且如果存在约束的选择，则电路将达到值，以便关联的线性程序具有解。

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$

— EmilJeřábek'13

还应注意，线性程序的最佳值是在多边形的顶点处获得的。这意味着，最优解的分母可以表示为维矩阵的行列式，其条目是大小恒定的整数，并且每行中只有非零条目，因此以为边界。

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— EmilJeřábek'13

Answers:

这些电路的可满足性问题（即给定电路和，确定是否存在输入使得）位于NP中，因此NP完全尼尔·扬的评论和彼得·索尔的回答。 $C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

我们可以通过以下方式将问题确定性地简化为线性规划。令为所有门的最小或最大门（此处，其中为电路的大小），令和为门的输入节点 $\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ 。对于每一个，选择的两个附加的约束之一或（有 $i<m$ $b_i\le c_i$ $c_i\le b_i$ $2^m$ 总共可能的选择）。当这样的选择是固定的，我们可以通过更换各简化电路与或适当，所得的电路可通过一个系统来描述线性方程，其变量是电路的原始输入变量以及对应于电路节点的其他变量。 $a_i$ $b_i$ $c_i$ $n$

我们还包括不等式说明该额外约束得到满足，不等式边界原始输入变量，以，和一个不等式，说明该输出节点具有值。那么这是大小的线性程序取决于额外约束的选择，并且所述电路值无所获当且仅当存在一个选择的约束使得相关线性程序有一个解决方案。由于线性编程位于P中，这表明问题在于NP。 $m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

还应注意，线性程序的最佳值是在多边形的顶点处获得的。这意味着最优解的分母可以表示为维的方阵的行列式，其条目是大小恒定的整数，并且每行中只有非零条目，因此它的边界是。 $O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

此类归约通常有助于在命题模糊逻辑（例如Łukasiewicz逻辑）和相关系统中满足可满足性的复杂性的上限。（实际上，最初的问题是Łukasiewicz中可满足性的一个较小变体，它对应于具有而不是。）有关相关结果的概述，请参见《数学模糊逻辑手册》第十章。二。 $\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

— 埃米尔·杰拉贝克（EmilJeřábek）
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这个问题很难解决。

您可以使用门min（x，y），max（x，y）和1- x来获得3-SAT 。

我们想要的是将3-SAT问题简化为一个电路，如果所有变量都可以满足，则可以得到1，否则只能获得严格小于1的值。

我们可以通过采用最少的许多表达式来强制所有变量为0或1，并使这些表达式包含max（x，1- x）。

现在，在3-SAT问题，每一个条款X ∨ Ÿ ∨ ž，我们把表达式最大（X，Ÿ，ž）在最低限度。

对于未知的3-SAT问题，我不知道最佳值是多少，但是严格来说，该值将小于1。

— 彼得·索尔
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是的，正如上面的评论所指出的那样，NP硬度是“容易的方向”。实际上，如果您不使用平均门，而仅使用最小值和最大值，则很容易证明，如果相应的布尔电路是可满足的，则最大值为1，否则为1/2（只需将1/2插入所有变量）。无论如何，该问题已在上面的评论中解决。

— Shaull

不完全是您要的，而是出现类似电路的环境。

如果删除门（标题中甚至没有提到！），则得到的是单调算术电路。PavelPudlák已将Razborov的经典单调电路下界扩展到单调算术电路（具有相同结果），分辨率和切割平面证明的下限。 $1-x$

— Yuval Filmus
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谢谢。在这种情况下，然而，如果去掉

门，那么问题是微不足道的-最大值为1，它的实现在所有变量中获得价值1

1 - x

$1-x$

— Shaull