广义15-难题的决策问题的NP-完备性

我对著名的15谜题的自然概括感兴趣，在这种情况下，您必须滑动块直到对所有给定的数字进行排序（通常有1块的差距）。

现在，一般情况是将拼图的大小从15扩展到，其中一个字段是自由的。我创建了一个小插图（虚线箭头显示了允许的移动，下面的配置显示了已解决的难题）： $p \times q$

在此处输入图片说明

给定一个拼图的初始配置，我问自己以下问题：

决策问题：给定一个大小为且数字为的难题。是否有一系列的或更少的允许移动将拼图转变为已解决的配置？ $p \times q$ $k \in \mathbb{N}$ $k$

我已经做了一些调查，发现文中的“ 的 -puzzle和有关的搬迁问题， $(n^2−1)$ 从1990年”，这表明，在决定我的问题为是NP完全的，因此，在决定我的问题是NP -完成（因为一般算法也可以决定对称字段的问题）。 $p=q$

仍然存在的问题是，对于固定，决策问题是否也是NP-Complete 。我对特殊情况特别感兴趣。如果允许的自由空间超过一个字段，则决策问题将变得更加困难或容易，它将保持开放状态。 $q>1$ $q=2,3$

可悲的是，我能找到的所有文章都忽略了不对称的情况，因此我认为可能没有已知的结果。由于文章中的证明非常复杂，并且对于固定高度并不能完全翻译，因此我希望有人可以提出不同的归约/文章来回答一些问题。

其他相关文章（待扩展）：

cc.complexity-theory np np-complete

— 清单
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@Listing：不，您不能自己做，主持人可以移动它（也许他们会注意到这些评论，如果他们同意，他们将移动它）。

— Marzio De Biasi 2013年

我已经编写了适用于非对称情况的尚未发布的Parberry算法（saml.pdf）实现。它的工作原理是：-)此外，我在与该主题相关的出版物中也引用了Erik Demaine的调查论文。在erikdemaine.org/papers/AlgGameTheory_GONC3上获取它；它比2008年的论文《 FWIW》要新一些。

O (n^{3})

$O(n^3)$

— JonasKölker'13

@Vor我为NP完整性证明提供$ 50现金奖：)

— Mohammad Al-Turkistany

相关？：cstheory.stackexchange.com/questions/783/…–

— 约书亚·

@vzn对不起，如果我在这里还不够具体-我只想问固定的q，这是非对称情况的一种特殊形式。

— 上市

我认为我对我的问题找到了部分答案（虽然很令人失望）：

我偶然发现了这篇论文（2007年）：

“ 三维通道路由的复杂性 ”聪大禹和上野秀一

他们证明（定理4）具有“ 2-nets”和维数的“ 3d通道路由问题” 可以并且仅当相应的（请参见文章以了解更多详细信息）拼图可以解决时被解决。 $p,q$ $p \times q-1$

在定理1下，他们提出了一些问题，称为“ 2.5-D通道路由”，基本上是固定深度 “ 3d通道路由” 。他们还说“以下问题的复杂性[2.5-D通道路由]对于任何固定整数都是开放的”。 $k$ $k \geq 2$

如果我们知道对于某个固定的，拼图的决策版本是NP-Complete，那么我们也将知道很难进行2.5维信道路由，因此看来问题可能是归结为一些未解决的问题。 $p \times q-1$ $k \geq 2$ $k$

当然，这可能是我的问题的答案是拼图对于所有固定都在P中，这仍然会使他们的问题保持开放状态（因为常规路由不仅处理 -Nets），。因此，这并不是一个完整的答案，也令人失望的是，当他们声称问题仍然存在时，它们不包含任何引用。 $p \times q-1$ $k$ $2$

— 清单
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